Prüfung 2023¶
Analysis, Teil 1¶
Aufgabe 1¶
Gegeben ist die Funktion \(g\) mit dem Term \(g(x)=-\frac{1}{4}x^{4}+2x^{2}\) und der Definitionsmenge \(D_{g}=[-3;3]\) . Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.
Aufgabe (a)¶
Untersuchen Sie \(G_{g}\) auf Symmetrie zum Koordinatensystem. [2]
Tipp
Wir berechnen \(g(-x)\) .
Aufgabe (b)¶
Ermitteln Sie alle Extremstellen von \(g\) .
Tipp
Wir denken hier auch an die Randwerte.
Aufgabe 2¶
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f}=\mathbb{R}\) . Die Funktion \(f\) ist eine quadratische Funktion.
Aufgabe (a)¶
\(G_{f}\) und die \(x\)-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. [4]
Tipp
Wir bestimmen zu erst den Term \(f(x)\) .
Ergebnis
\(A=\frac{32}{3}\)
Aufgabe (b)¶
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\) und ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet. Beschreiben Sie den Globalverlauf von \(G_{F}\) in Worten. Gehen Sie auch auf das Monotonieverhalten, die Lage und die Art der Extremstellen sowie auf die Lage der Wendestelle von \(F\) ein. [4]
Tipp
\(F^{\prime}(x)=f(x)\) und damit können wir die Monotonie von \(G_{F}\) angeben.
Wir formulieren zu erst die Monotonie und folgern daraus auf den Globalverlauf.
Aufgabe 3¶
Lösen Sie die Gleichung \((e^{x})^{2}-25=0\) über der Grundmenge der reellen Zahlen. [3]
Tipp
Hier können wir die Substitution anwenden.
Ergebnis
\(x=\ln5\)
Aufgabe 4¶
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \(G_{h}\) einer Exponentialfunktion h mit der Definitionsmenge \(D_{h}=\mathbb{R}\) . Der zugehörige Funktionsterm besitzt die Form \(h(x)=e^{x+d}+y_{0}\) .
Aufgabe (a)¶
Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung nachvollziehbar die Werte der Parameter \(d\) und \(y_{0}\) . [3]
Tipp
Wir betrachten den Grenzwert \(\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}h(x)\) .
Aufgabe (b)¶
Entscheiden Sie anhand des Graphen \(G_{h}\) , ob die Aussage \(\int\limits_{-1}^{1}(2-h(x))dx>0\) wahr oder falsch ist. Veranschaulichen Sie Ihre Überlegungen dazu in der Abbildung. [2]
Tipp
Wir markieren zwei geeignete Flächen in der Skizze.
Stochastik, Teil 1¶
Aufgabe 1¶
Bei einem Glücksradspiel beträgt der Einsatz \(2\) € , maximal werden \(5\) € ausbezahlt. Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Nettogewinn bei diesem Spiel (in Euro) an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) kann mithilfe der Parameter \(a\) und \(b\) in einer Tabelle dargestellt werden.
\(x\) |
\(\;\small{-2}\) |
\(\;\small{-1}\) |
\(\;\small{0.5}\) |
\(\;\small{1.5}\) |
\(\;\small{3}\) |
\(P(X=x)\) |
\(\small{0.20}\) |
\(\small{a}\) |
\(\small{0.20}\) |
\(\small{0.b}\) |
\(\small{0.10}\) |
Aufgabe (a)¶
Erläutern Sie, was der Ausdruck „faires Spiel“ im Zusammenhang mit Glücksspielen bedeutet und nennen Sie eine Bedingung, die von der hier dargestellten Zufallsgröße \(X\) erfüllt werden muss, damit das beschriebene Glücksspiel fair ist. [2]
Aufgabe (b)¶
Berechnen Sie die Werte der Parameter \(a\) und \(b\) so, dass es sich bei diesem Glücksradspiel um ein faires Spiel handelt. [4]
Aufgabe 2¶
Ein Gaststättenverband hat unter \(1500\) Touristen in der Fränkischen Schweiz eine Befragung durchgeführt, um zu erfahren, ob die Touristen die heimischen Biergärten besuchen (\(B\)) . Dabei wurde zwischen Personen, die eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht haben (\(V\)) , und Individualtouristen (\(\overline{V}\)) unterschieden. Tausend der Befragten gaben an, keine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht zu haben. Von den Touristen, die sich für eine Tagestour entschieden hatten, besuchten \(80~\%\) einen Biergarten. Nur \(300\) aller Befragten gaben an, keinen Biergarten besucht zu haben. Relative Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Aufgabe (a)¶
Bestimmen Sie mithilfe einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel den Anteil der Touristen, die entweder eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht haben oder einen Biergarten in der Fränkischen Schweiz besucht haben. [4]
Tipp
Wir tragen die absoluten Häufigkeiten in die Vierfeldertafel ein und berechnen anschließend die nötigen relativen Häufigkeiten.
Aufgabe (b)¶
Begründen Sie, ob der Gaststättenverband mit der folgenden Behauptung recht hat: „Die Biergärten in der Fränkischen Schweiz sind für alle Touristen gleich attraktiv, egal ob zuvor eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht wurde oder nicht“. [2]
Tipp
Wir untersuchen zwei geeignete Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.
