Prüfung 2023 ------------ .. _klasse_12_jahr_2023: .. |br| raw:: html
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Analysis, Teil 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`g` mit dem Term :math:`g(x)=-\frac{1}{4}x^{4}+2x^{2}` und der Definitionsmenge :math:`D_{g}=[-3;3]` . Der Graph von :math:`g` wird mit :math:`G_{g}` bezeichnet. Aufgabe (a) ::::::::::: Untersuchen Sie :math:`G_{g}` auf Symmetrie zum Koordinatensystem. [2] ---------- **Tipp** Wir berechnen :math:`g(-x)` . Aufgabe (b) ::::::::::: Ermitteln Sie alle Extremstellen von :math:`g` . ---------- **Tipp** Wir denken hier auch an die Randwerte. Aufgabe 2 ......... Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen :math:`G_{f}` der Funktion :math:`f` mit dem Definitionsbereich :math:`D_{f}=\mathbb{R}` . Die Funktion :math:`f` ist eine quadratische Funktion. .. tikz:: :align: left :xscale: 40 \draw[very thin,color=gray] (-2.4,-0.4) grid (2.4,4.4); \draw[->] (-2.7,0) -- (2.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-0.7) -- (0,4.7) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-2.1:2.1,color=magenta,samples=100] plot(\x,{-(\x)^2+4}) node[right]{$G_{f}$}; Aufgabe (a) ::::::::::: :math:`G_{f}` und die :math:`x`-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. [4] ---------- **Tipp** Wir bestimmen zu erst den Term :math:`f(x)` . **Ergebnis** :math:`A=\frac{32}{3}` Aufgabe (b) ::::::::::: Die Funktion :math:`F` ist eine Stammfunktion von :math:`f` und ihr Graph wird mit :math:`G_{F}` bezeichnet. Beschreiben Sie den Globalverlauf von :math:`G_{F}` in Worten. Gehen Sie auch auf das Monotonieverhalten, die Lage und die Art der Extremstellen sowie auf die Lage der Wendestelle von :math:`F` ein. [4] ---------- **Tipp** - :math:`F^{\prime}(x)=f(x)` und damit können wir die Monotonie von :math:`G_{F}` angeben. - Wir formulieren zu erst die Monotonie und folgern daraus auf den Globalverlauf. Aufgabe 3 ......... Lösen Sie die Gleichung :math:`(e^{x})^{2}-25=0` über der Grundmenge der reellen Zahlen. [3] ---------- **Tipp** Hier können wir die Substitution anwenden. **Ergebnis** :math:`x=\ln5` Aufgabe 4 ......... Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen :math:`G_{h}` einer Exponentialfunktion h mit der Definitionsmenge :math:`D_{h}=\mathbb{R}` . Der zugehörige Funktionsterm besitzt die Form :math:`h(x)=e^{x+d}+y_{0}` . .. tikz:: :align: left :xscale: 40 \draw[very thin,color=gray] (-3.4,-0.4) grid (2.4,3.4); \draw[->] (-3.7,0) -- (2.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-0.7) -- (0,3.7) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-3.5:1.5,color=gray,samples=100] plot(\x,{exp(\x-0.5)+1}) node[right]{$G_{h}$}; \fill[gray] (0.5,2) circle (0.15) node[right]{$P(0.5;2)$}; Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung nachvollziehbar die Werte der Parameter :math:`d` und :math:`y_{0}` . [3] ---------- **Tipp** Wir betrachten den Grenzwert :math:`\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}h(x)` . Aufgabe (b) ::::::::::: Entscheiden Sie anhand des Graphen :math:`G_{h}` , ob die Aussage :math:`\int\limits_{-1}^{1}(2-h(x))dx>0` wahr oder falsch ist. Veranschaulichen Sie Ihre Überlegungen dazu in der Abbildung. [2] ---------- **Tipp** Wir markieren zwei geeignete Flächen in der Skizze. Stochastik, Teil 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Bei einem Glücksradspiel beträgt der Einsatz :math:`2` € , maximal werden :math:`5` € ausbezahlt. Die Zufallsgröße :math:`X` gibt den Nettogewinn bei diesem Spiel (in Euro) an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße :math:`X` kann mithilfe der Parameter :math:`a` und :math:`b` in einer Tabelle dargestellt werden. .. list-table:: :widths: 15 10 10 10 10 10 :header-rows: 0 * - :math:`x` - :math:`\;\small{-2}` - :math:`\;\small{-1}` - :math:`\;\small{0.5}` - :math:`\;\small{1.5}` - :math:`\;\small{3}` * - :math:`P(X=x)` - :math:`\small{0.20}` - :math:`\small{a}` - :math:`\small{0.20}` - :math:`\small{0.b}` - :math:`\small{0.10}` Aufgabe (a) ::::::::::: Erläutern Sie, was der Ausdruck "faires Spiel" im Zusammenhang mit Glücksspielen bedeutet und nennen Sie eine Bedingung, die von der hier dargestellten Zufallsgröße :math:`X` erfüllt werden muss, damit das beschriebene Glücksspiel fair ist. [2] Aufgabe (b) ::::::::::: Berechnen Sie die Werte der Parameter :math:`a` und :math:`b` so, dass es sich bei diesem Glücksradspiel um ein faires Spiel handelt. [4] Aufgabe 2 ......... Ein Gaststättenverband hat unter :math:`1500` Touristen in der Fränkischen Schweiz eine Befragung durchgeführt, um zu erfahren, ob die Touristen die heimischen Biergärten besuchen (:math:`B`) . Dabei wurde zwischen Personen, die eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht haben (:math:`V`) , und Individualtouristen (:math:`\overline{V}`) unterschieden. Tausend der Befragten gaben an, keine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht zu haben. Von den Touristen, die sich für eine Tagestour entschieden hatten, besuchten :math:`80~\%` einen Biergarten. Nur :math:`300` aller Befragten gaben an, keinen Biergarten besucht zu haben. Relative Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie mithilfe einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel den Anteil der Touristen, die entweder eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht haben oder einen Biergarten in der Fränkischen Schweiz besucht haben. [4] ---------- **Tipp** Wir tragen die absoluten Häufigkeiten in die Vierfeldertafel ein und berechnen anschließend die nötigen relativen Häufigkeiten. Aufgabe (b) ::::::::::: Begründen Sie, ob der Gaststättenverband mit der folgenden Behauptung recht hat: „Die Biergärten in der Fränkischen Schweiz sind für alle Touristen gleich attraktiv, egal ob zuvor eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht wurde oder nicht“. [2] ---------- **Tipp** Wir untersuchen zwei geeignete Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.