Lineare Gleichungssysteme

Sind mehrere lineare Gleichungen gegeben, die alle gleichzeitig erfüllt werden sollen, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem, kurz LGS. Besonders wichtig sind LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:

\[\begin{split}\begin{equation*} \begin{array}{l} a_{1}x_{1}+b_{1}x_{2}+c_{1}x_{3}=d_{1}\\ a_{2}x_{1}+b_{2}x_{2}+c_{2}x_{3}=d_{2}\\ a_{3}x_{1}+b_{3}x_{2}+c_{2}x_{3}=d_{3} \end{array} \end{equation*}\end{split}\]

mit den Unbekannten \(x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R}\). Mit der üblichen Schreibweise für die Spaltendarstellung von Vektoren lässt sich das LGS auch als Vektorgleichung angeben:

\[\begin{split}\begin{equation*} x_{1}\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix}c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{pmatrix} \text{ .} \end{equation*}\end{split}\]

Es gibt viele Verfahren zum Lösen von LGS. Ein Verfahren ist das Lösen von LGS mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens. Die Idee beim Einsetzungsverfahren ist, eine der Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen und diese Variable dann in die anderen Gleichungen einzusetzen. Dadurch wird eine Variable eliminiert. Dieses Verfahren lässt sich auch bei größeren oder nichtlinearen Gleichungssystemen anwenden. Die Berechnung wird dann aber schnell unübersichtlich. Deshalb ist es zweckmäßig, zwischendurch Vereinfachungen zu machen indem gleichnamige Summanden so weit wie möglich zusammengefasst werden.

Für die Lösung eines LGS gibt es genau drei Möglichkeiten und diese sind:

  • Das LGS ist eindeutig lösbar. In diesem Fall nehmen die Unbekannten \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) eindeutige Werte an und die Lösungsmenge des LGS besteht aus genau einem Element, einem \(3\)-Tupel.

  • Das LGS ist im Reellen nicht lösbar. In diesem Fall kommt es beim Lösen des LGS zu einem Widerspruch und die Lösungsmenge des LGS ist leer.

  • Das LGS hat unendlich viele Lösungen. In diesem Fall kommt man beim Lösen des LGS in die Situation, dass für mindestens eine der drei Unbekannten ein beliebiger Wert eingesetzt werden kann. Die restlichen werden dann entsprechen den gewählten Werten ausgerechnet. Die Lösungsmenge des LGS enthält in diesem Fall unendlich viele Elemente, also unendlich viele \(3\)-Tupel.

Sieht man sich die Vektorgleichung

\[\begin{split}\begin{equation*} x_{1}\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix}c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{pmatrix} \text{ .} \end{equation*}\end{split}\]

noch einmal an, so erkennt man, dass auf der linken Seite außer den Unbekannten \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) auch noch die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}\) und \(\vec{c}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{pmatrix}\) stehen. Auf der rechten Seite befindet sich nur der Vektor \(\vec{d}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{pmatrix}\).

Ist nun eine Vektorgleichung eindeutig lösbar, so bleibt das LGS auch dann eindeutig lösbar, wenn wir den Vektor \(\vec{d}\) mit einem beliebig anderen Vektor aus dem gleichen dreidimensionalen vektoriellen Raum ersetzen. Mit anderen Worten: Das LGS ist immer eindeutig lösbar, egal welcher Vektor aus dem \(\mathbb{R}^3\) auf der rechten Seite steht. Man sagt dazu, dass alle Vektoren des \(\mathbb{R}^3\) als Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) von der linken Seite des LGS darstellbar sind. Die drei Vektoren der linken Seite bilden somit eine Basis der dreidimensionalen vektoriellen Raums und man schreibt dazu \(B=\left\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}\). Die Dimension dieses vektoriellen Raum ist drei, da drei Vektoren die Basis B bilden.

Bleiben wir bei dem Fall, dass die obige Vektorgleichung eindeutig lösbar ist. Wir erhalten dabei die Lösungen \(x_{1}=p\), \(x_{2}=q\) und \(x_{3}=r\), wenn auf der rechten Seite der Vektor \(\vec{d}\) steht.

Wir sagen dann dazu: \(B=\left\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}\) ist eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) und \(p\), \(q\) und \(r\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{d}\) bezüglich der Basis \(B\).

Wir schreiben dazu:

\[\begin{split}\begin{equation*} p\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{pmatrix} \text{ ,} \end{equation*}\end{split}\]

oder kurz: \(\vec{d}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\ q\\ r \end{pmatrix}_{B}\).

Ist nun eine Vektorgleichung nicht lösbar, oder sie hat unendlich viele Lösungen, so bleibt das LGS auch dann nicht eindeutig lösbar, wenn wir den Vektor \(\vec{d}\) mit einem beliebig anderen Vektor aus dem gleichen dreidimensionalen vektoriellen Raum ersetzen. Die drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) der linken Seite bilden somit keine Basis des dreidimensionalen vektoriellen Raums.

Erweitern wir die Vektorgleichung oder das LGS mit drei Zeilen und drei Unbekannten auf ein LGS mit \(n\)-Zeilen und \(n\)-Unbekannten, so behalten alle oben gemachten Betrachtungen ihre Gültigkeit. Eine Basis dieses vektoriellen Raums enthält folglich \(n\)-Vektoren und seine Dimension ist \(n\), also befinden wir uns hier im \(\mathbb{R}^n\).