Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Lösung folgender Vektorgleichungen. Entscheiden Sie bei jeder Aufgabe, ob eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) vorliegt und geben Sie falls, möglich die Koordinaten des Vektors auf der rechten Seite bezüglich der vorliegenden Basis an.

  1. \(\alpha\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}\)

  2. \(\lambda\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}8\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}12\\ 4\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}\)

  3. \(\tau\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-3\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\\ -6\\ 12 \end{pmatrix}\)

  4. \(\alpha\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -2 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}0\\ -1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ -6\\ -12 \end{pmatrix}\)

  5. \(\lambda\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-2\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\ 0\\ 5 \end{pmatrix}\)

  6. \(\tau\begin{pmatrix}6\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\)

  7. \(\alpha\begin{pmatrix}7\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}4\\ 4\\ -2 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}14\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 19\\ 7 \end{pmatrix}\)

  8. \(\lambda\begin{pmatrix}5\\ 1\\ -10 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}2\\ -6\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ -2 \end{pmatrix}\)

  9. \(\tau\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-2\\ 6\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ -3\\ 20 \end{pmatrix}\)

  10. \(\alpha\begin{pmatrix}3\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}8\\ 6\\ 2 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-4\\ -3\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\ 20\\ -4 \end{pmatrix}\)

  11. \(\lambda\begin{pmatrix}3\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}22\\ -22\\ -11 \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}65\\ 13\\ 10 \end{pmatrix}\)

  12. \(\tau\begin{pmatrix}4\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 8 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-8\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\ -4\\ 8 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 2

Ermitteln Sie die Lösungen folgender Vektorgleichungen in Abhängigkeit von \(a\in\mathbb{R}\).

  1. \(\lambda\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\ a\\ 1 \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\)

  2. \(\tau\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}2\\ a\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\)

  3. \(\alpha\begin{pmatrix}3\\ 1\\ -6 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ -6 \end{pmatrix}\)

  4. \(\tau\begin{pmatrix}-15\\ 0\\ 10 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}2a-8\\ a-4\\ -4a+16 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-45\\ 0\\ 31 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4a+106\\ -2a+8\\ 8a-98 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 3

Ermitteln Sie die Anzahl der Lösungen folgender Vektorgleichung in Abhängigkeit von \(a\in\mathbb{R}\).

\[\begin{split}\alpha\begin{pmatrix}a\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\ a\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ a\\ 1 \end{pmatrix}\end{split}\]

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Parameter \(a,b,d\in\mathbb{R}\) so, dass das LGS die Lösung \(\alpha =\frac{23}{3}\), \(\beta =-\frac{4}{3}\) und \(\gamma =-\frac{8}{3}\) hat.

\[\begin{split}\alpha\begin{pmatrix}-2\\ a\\ -5 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}a+2\\ -4\\ c-12 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-6\\ b+1\\ a-12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b-13\\ c-1\\ -9 \end{pmatrix}\end{split}\]

Aufgabe 5

Untersuchen Sie ob die gegebenen Vektoren eine Basis des \(\mathbb{R}^{3}\) bilden.

  1. \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}\)

  4. \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}-4\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}\)

  5. \(\begin{pmatrix}-1\\ -3\\ 5 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Basis \(B=\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right\}\). Nachweis ist nicht erforderlich.

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren der kanonischen Basis bezüglich der Basis \(B\).

  2. Berechnen Sie die Koordinaten von \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ -4 \end{pmatrix}\) bezüglich der Basis \(B\).

Hinweis: Die kanonische Basis besteht aus den Vektoren \(\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\}\).

Aufgabe 7

Gegeben sind die Vektoren: \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\).

  1. Begründen Sie, dass \(B=\left\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}\) eine Basis des \(\mathbb{R}^{3}\) ist.

  2. Stellen Sie die Vektoren der kanonischen Basis des \(\mathbb{R}^{3}\) als Linearkombination der Vektoren der Basis \(B\) dar.

  3. Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse die Koordinaten der Vektoren \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{y}=\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 5 \end{pmatrix}\) bezüglich der Basis \(B\).

Aufgabe 8

Gegeben sind die Basis \(B=\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\right\}\) und die Basis \(C=\left\{ \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\}\) des \(\mathbb{R}^{3}\). Nachweis ist nicht erforderlich.

Gegeben ist zusätzlich der Vektor \(\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}_{B}\) bezüglich der Basis \(B\).

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(\vec{b}\) bezüglich der kanonischen Basis.

  2. Berechnen Sie die Koordinaten von \(\vec{b}\) bezüglich der Basis \(C\).