Aufgaben
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    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A"> 


Aufgabe 1
^^^^^^^^^

.. :ref:`Teacher´s page <lineare_gleichungssysteme_aufgabe01>`.

Bestimmen Sie die Lösung folgender Vektorgleichungen. Entscheiden Sie bei jeder Aufgabe, ob eine Basis des :math:`\mathbb{R}^3` vorliegt und geben Sie falls, möglich die Koordinaten des Vektors auf der rechten Seite bezüglich der vorliegenden Basis an. 

a. :math:`\alpha\begin{pmatrix}2\\
   3\\
   1
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\
   2\\
   -1
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-2\\
   -1\\
   3
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\
   4\\
   3
   \end{pmatrix}`
b. :math:`\lambda\begin{pmatrix}2\\
   1\\
   0
   \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}8\\
   4\\
   0
   \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}12\\
   4\\
   2
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\
   0\\
   -2
   \end{pmatrix}`
c. :math:`\tau\begin{pmatrix}3\\
   2\\
   2
   \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}1\\
   -1\\
   -1
   \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-3\\
   -1\\
   2
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\\
   -6\\
   12
   \end{pmatrix}`
d. :math:`\alpha\begin{pmatrix}1\\
   2\\
   4
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\
   -1\\
   -2
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}0\\
   -1\\
   -2
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\
   -6\\
   -12
   \end{pmatrix}`
e. :math:`\lambda\begin{pmatrix}1\\
   1\\
   -3
   \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-2\\
   -2\\
   4
   \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}1\\
   -2\\
   4
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\
   0\\
   5
   \end{pmatrix}`
f. :math:`\tau\begin{pmatrix}6\\
   1\\
   0
   \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}4\\
   1\\
   1
   \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}1\\
   0\\
   1
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\
   3\\
   2
   \end{pmatrix}`
g. :math:`\alpha\begin{pmatrix}7\\
   1\\
   1
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}4\\
   4\\
   -2
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}14\\
   0\\
   -2
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\
   19\\
   7
   \end{pmatrix}`
h. :math:`\lambda\begin{pmatrix}5\\
   1\\
   -10
   \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-2\\
   3\\
   4
   \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}2\\
   -6\\
   -4
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\
   3\\
   -2
   \end{pmatrix}`
i. :math:`\tau\begin{pmatrix}1\\
   -3\\
   3
   \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}1\\
   -3\\
   3
   \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-2\\
   6\\
   5
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\
   -3\\
   20
   \end{pmatrix}`
j. :math:`\alpha\begin{pmatrix}3\\
   1\\
   -1
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}8\\
   6\\
   2
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-4\\
   -3\\
   -1
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\
   20\\
   -4
   \end{pmatrix}`
k. :math:`\lambda\begin{pmatrix}3\\
   -3\\
   3
   \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}22\\
   -22\\
   -11
   \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}2\\
   -2\\
   1
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}65\\
   13\\
   10
   \end{pmatrix}`
l. :math:`\tau\begin{pmatrix}4\\
   1\\
   -2
   \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}-1\\
   -4\\
   8
   \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-8\\
   -2\\
   4
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\
   -4\\
   8
   \end{pmatrix}`

Aufgabe 2
^^^^^^^^^

.. :ref:`Teacher´s page <lineare_gleichungssysteme_aufgabe02>`.

Ermitteln Sie die Lösungen folgender Vektorgleichungen in Abhängigkeit von :math:`a\in\mathbb{R}`.

a. :math:`\lambda\begin{pmatrix}1\\
   0\\
   2
   \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\
   a\\
   1
   \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}1\\
   2\\
   1
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\
   2\\
   1
   \end{pmatrix}`
b. :math:`\tau\begin{pmatrix}1\\
   2\\
   2
   \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}1\\
   0\\
   1
   \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}2\\
   a\\
   2
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\
   -2\\
   1
   \end{pmatrix}`
c. :math:`\alpha\begin{pmatrix}3\\
   1\\
   -6
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}2\\
   1\\
   4
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-1\\
   3\\
   a
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\
   1\\
   -6
   \end{pmatrix}`
d. :math:`\tau\begin{pmatrix}-15\\
   0\\
   10
   \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}2a-8\\
   a-4\\
   -4a+16
   \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-45\\
   0\\
   31
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4a+106\\
   -2a+8\\
   8a-98
   \end{pmatrix}`  

Aufgabe 3
^^^^^^^^^

.. :ref:`Teacher´s page <lineare_gleichungssysteme_aufgabe03>`.

Ermitteln Sie die Anzahl der Lösungen folgender Vektorgleichung in Abhängigkeit von :math:`a\in\mathbb{R}`.
 

.. math::
   \alpha\begin{pmatrix}a\\
   2\\
   3
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\
   1\\
   2
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\
   a\\
   2
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\
   a\\
   1
   \end{pmatrix}

Aufgabe 4
^^^^^^^^^

.. :ref:`Teacher´s page <lineare_gleichungssysteme_aufgabe04>`.

Bestimmen Sie die Parameter :math:`a,b,d\in\mathbb{R}` so, dass das LGS die Lösung :math:`\alpha =\frac{23}{3}`, :math:`\beta =-\frac{4}{3}` und :math:`\gamma =-\frac{8}{3}` hat.

.. math:: 
   \alpha\begin{pmatrix}-2\\
   a\\
   -5
   \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}a+2\\
   -4\\
   c-12
   \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-6\\
   b+1\\
   a-12
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b-13\\
   c-1\\
   -9
   \end{pmatrix}

Aufgabe 5
^^^^^^^^^

Untersuchen Sie ob die gegebenen Vektoren eine Basis des :math:`\mathbb{R}^{3}` bilden. 
 
a. :math:`\begin{pmatrix}1\\
   0\\
   1
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}0\\
   1\\
   1
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}1\\
   -1\\
   0
   \end{pmatrix}`
b. :math:`\begin{pmatrix}1\\
   1\\
   0
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}1\\
   0\\
   1
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}0\\
   1\\
   1
   \end{pmatrix}`
c. :math:`\begin{pmatrix}1\\
   2\\
   3
   \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\
   0\\
   1
   \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\
   3\\
   4
   \end{pmatrix}`
d. :math:`\begin{pmatrix}1\\
   0\\
   1
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}0\\
   1\\
   0
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}-4\\
   -4\\
   -4
   \end{pmatrix}`
e. :math:`\begin{pmatrix}-1\\
   -3\\
   5
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}1\\
   1\\
   1
   \end{pmatrix}`, :math:`\begin{pmatrix}0\\
   0\\
   0
   \end{pmatrix}`

Aufgabe 6
^^^^^^^^^

Gegeben ist die Basis :math:`B=\left\{ \begin{pmatrix}1\\
1\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\
0\\
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\
1\\
1
\end{pmatrix}\right\}`. Nachweis ist nicht erforderlich.
 
a. Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren der kanonischen Basis bezüglich der Basis :math:`B`.
b. Berechnen Sie die Koordinaten von :math:`\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\
   1\\
   0
   \end{pmatrix}` und :math:`\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\
   3\\
   -4
   \end{pmatrix}` bezüglich der Basis :math:`B`.
   
Hinweis: Die kanonische Basis besteht aus den Vektoren :math:`\left\{ \begin{pmatrix}1\\
0\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\
1\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\
0\\
1
\end{pmatrix}\right\}`.
 
Aufgabe 7
^^^^^^^^^

Gegeben sind die Vektoren:
:math:`\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\
0\\
1
\end{pmatrix}`, :math:`\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}` und :math:`\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\
1\\
1
\end{pmatrix}`.
 
a. Begründen Sie, dass :math:`B=\left\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}` eine Basis des :math:`\mathbb{R}^{3}` ist.
b. Stellen Sie die Vektoren der kanonischen Basis des :math:`\mathbb{R}^{3}` als Linearkombination der Vektoren der Basis :math:`B` dar.
c. Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse die Koordinaten der Vektoren :math:`\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\
   2\\
   3
   \end{pmatrix}` und :math:`\vec{y}=\begin{pmatrix}3\\
   -1\\
   5
   \end{pmatrix}` bezüglich der Basis :math:`B`.
    
Aufgabe 8
^^^^^^^^^

Gegeben sind die Basis :math:`B=\left\{ \begin{pmatrix}1\\
0\\
2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\
1\\
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}\right\}` und die Basis :math:`C=\left\{ \begin{pmatrix}-2\\
1\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\
2\\
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\
0\\
1
\end{pmatrix}\right\}`  des :math:`\mathbb{R}^{3}`. Nachweis ist nicht erforderlich.

Gegeben ist zusätzlich der Vektor :math:`\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\
-4\\
2
\end{pmatrix}_{B}` bezüglich der Basis :math:`B`.

a. Bestimmen Sie die Koordinaten von :math:`\vec{b}` bezüglich der kanonischen Basis.
b. Berechnen Sie die Koordinaten von :math:`\vec{b}` bezüglich der Basis :math:`C`.