Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen¶
Grenzwerte von Funktionen
Bei der Untersuchung der Eigenschaften von Funktionen treten Fragestellungen in Erscheinung, die sich mit dem Verhalten von Funktionen im Unendlichen, in der Umgebung von Definitionslücken oder am Rande eines eingeschränkten Definitionsbereiches beschäftigen. Lösungen zu Problemen dieser Art werden mit Hilfe der Grenzwertberechnung gefunden. Bei den nachfolgenden Betrachtungen stehen nur ganzrationale Funktionen im Mittelpunkt.
Hat eine ganzrationale Funktion \(f\) den Definitionsbereich \(D_{f}=\mathbb{R}\), so wird das Verhalten von \(f(x)\) an den Rändern des Definitionsbereichs so untersucht, dass für die Variable \(x\) Werte eingesetzt werden die sehr groß sind, also \(x\rightarrow\infty\), oder sehr klein sind, also \(x\rightarrow-\infty\). Man verwendet dazu die Schreibweise \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)\) oder \(\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)\) (sprich: „Limes \(x\) gegen \(\infty\) von \(f(x)\)“ oder „Limes \(x\) gegen \(-\infty\) von \(f(x)\)“).
Die Berechnung der Grenzwerte \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)\) oder \(\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)\) einer ganzrationalen Funktion mit Grad \(n \in \mathbb{N}\) ist bestimmt durch denjenigen Summanden, bei dem die Variable \(x\) die größte Hochzahl hat. Dieser Summand wird an dieser Stelle auch dominanter Summand genannt.
Für \(x\rightarrow\infty\) gilt dann:
\(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_{1}x+a_{0}\right)\)
\(\qquad =\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(a_{n}x^{n}\right)\).
Für \(x\rightarrow-\infty\) gilt entsprechend:
\(\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\left(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{1}x+a_{0}\right)\)
\(\qquad =\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\left(a_{n}x^{n}\right)\).
Bei beiden Betrachtungen kommt für \(n\geqslant1\) als Ergebnis keine bestimmte Zahl, sondern \(\infty\) oder \(-\infty\) in Frage. Deshalb existieren diese beiden Grenzwerte nicht und man spricht hier von Grenzwerten mit bestimmter Divergenz
Hat hingegen eine ganzrationale Funktion \(f\) den Definitionsbereich \(D_{f}=\left]x_{l};x_{r} \right[\), also ein offenes Intervall, so wird das Verhalten von \(f(x)\) an den Rändern des Definitionsbereichs so untersucht, dass die Variable \(x\) dem Wert \(x_{l}\) von rechts und dem Wert \(x_{r}\) von links angenähert wird. Man verwendet die Schreibweise \(\underset{x\rightarrow x_{l}^{+}}{\lim}f(x)\) oder \(\underset{x\rightarrow x_{r}^{-}}{\lim}f(x)\).
Bei der Berechnung dieser Grenzwerte geht man bei ganzrationalen Funktionen so vor, dass die Grenzen \(x_{l}\) und \(x_{r}\) des Definitionsbereiches \(D_{f}\) in \(f(x)\) eingesetzt werden.
Man erhält:
\(\underset{x\rightarrow x_{l}^{+}}{\lim}f(x)=a_{n}x_{l}^{n}+a_{n-1}x_{l}^{n-1}+\ldots+a_{2}x_{l}^{2}+a_{1}x_{l}+a_{0}\) und
\(\underset{x\rightarrow x_{r}^{-}}{\lim}f(x)=a_{n}x_{r}^{n}+a_{n-1}x_{r}^{n-1}+\ldots+a_{2}x_{r}^{2}+a_{1}x_{r}+a_{0}\).
Beide Grenzwertbetrachtungen haben als Ergebnis jeweils eine feste reelle Zahl. Aus diesem Grund existieren beide Grenzwerte und man sagt, dass die Funktion \(f\) für \(x\rightarrow x_{l}^{+}\) oder \(x\rightarrow x_{r}^{-}\) konvergent ist.
Randextrema
Hat eine ganzrationale Funktion \(f\) als Definitionsbereich \(D_{f}\) ein geschlossenes Intervall, also \(D_{f}=\left[x_{l};x_{r} \right]\) und ist die erste Ableitung von \(f\) an den Rändern verschieden von Null, so liegen am Rande von \(D_{f}\) Extrempunkte vor.
Für den linken Rand gilt:
- \(f^{\prime}(x_{l})<0\), so ist der Punkt \(H(x_{l},f(x_{l})\) ein relativer Hochpunkt von \(G_{f}\).
- \(f^{\prime}(x_{l})>0\), so ist der Punkt \(T(x_{l},f(x_{l})\) ein relativer Tiefpunkt von \(G_{f}\).
Für den rechten Rand gilt:
- \(f^{\prime}(x_{r})<0\), so ist der Punkt \(T(x_{r},f(x_{r})\) ein relativer Tiefpunkt von \(G_{f}\).
- \(f^{\prime}(x_{r})>0\), so ist der Punkt \(H(x_{l},f(x_{l})\) ein relativer Hochpunkt von \(G_{f}\).
Ist am Rand von \(D_{f}\) die erste Ableitung gleich Null, so beantworten weitere Untersuchungen die Frage, ob am Rande von \(D_{f}\) Extrempunkte vorliegen.
Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen
Die Funktion \(f\) sei in einem Intervall \(\left[a;b\right]\) differenzierbar. Dann gilt:
- \(f^{\prime}(x)>0\) für alle \(x\in\left]a;b\right[\Rightarrow f\) ist in \(\left[a;b\right]\) echt monoton zunehmend.
- \(f^{\prime}(x)>0\) für alle \(x\in\left]a;b\right[\Rightarrow G_{f}\) ist in \(\left[a;b\right]\) echt monoton steigend.
- \(f^{\prime}(x)<0\) für alle \(x\in\left]a;b\right[\Rightarrow f\) ist in \(\left[a;b\right]\) echt monoton abnehmend.
- \(f^{\prime}(x)<0\) für alle \(x\in\left]a;b\right[\Rightarrow G_{f}\) ist in \(\left[a;b\right]\) echt monoton fallend.
Die Funktion \(f\) sei in einem Intervall \(\left[a;b\right]\) mindestens zweimal differenzierbar. Dann gilt:
- \(f^{\prime\prime}(x)>0\) für alle \(x\in\left]a;b\right[\Rightarrow G_{f}\) ist in \(\left[a;b\right]\) linksgekrümmt.
- \(f^{\prime\prime}(x)<0\) für alle \(x\in\left]a;b\right[\Rightarrow G_{f}\) ist in \(\left[a;b\right]\) rechtsgekrümmt.
Hat die Funktion \(f\) mit \(D_{f}=]a;b[\) an einer einzelnen Stelle \(x_{0}\in]a;b[\) die Ableitung \(f^{\prime}(x_{0})=0\), so besitzt \(G_{f}\) an dieser Stelle \(x_{0}\) einen relativen Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) oder einen Terrassenpunkt.
Ist \(f^{\prime}(x_{0})=0\) und \(x_{0}\) ist eine Nullstelle von \(f^{\prime}\) mit ungerader Vielfachheit, so besitzt \(G_{f}\) den relativen Extrempunkt \(P(x_{0};f(x_{0}))\).
Ist \(f^{\prime}(x_{0})=0\) und \(x_{0}\) ist eine Nullstelle von \(f^{\prime}\) mit gerader Vielfachheit, so besitzt \(G_{f}\) den Terrassenpunkt \(P(x_{0};f(x_{0}))\).
Die Art der relativen Extrempunkte von \(G_{f}\) wird einerseits aus der Monotonie von \(f\) oder \(G_{f}\), andererseits mit Hilfe der zweiten Ableitung von \(f\) ermittelt.
Für die relativen Extrempunkte von \(G_{f}\) gelten folgende Kriterien:
Für die Wendepunkte von \(G_{f}\) gelten folgende Kriterien:
Integrationsregeln
Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung.
Differentialrechnung: \(f(x)\longrightarrow f^{\prime}(x)\)
Integralrechnung: \(f^{\prime}(x)\longrightarrow f(x)=\int f^{\prime}(x)dx+C\) ; \(C\in\mathbb{R}\)
Eine Stammfunktion \(F\) einer gegebenen Funktion \(f\) ist eine Funktion, die im gleichen Intervall wie \(f\) definiert ist und es gilt: \(F^{\prime}(x)=f(x)\).
Schreibweise: \(F(x)=\int f(x)dx+C\) mit \(F^{\prime}(x)=f(x)\) und \(C\in\mathbb{R}\)
Zu jeder integrierbaren Funktion \(f\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante \(C\) unterscheiden. Alle Stammfunktionen besitzen an allen Stellen \(x_{0}\) die gleiche Steigung, da ihre Ableitungen gleich sind. Die Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung in \(y\)-Richtung ineinander über.
Integrale, deren Integrationskonstante \(C\) nicht festgelegt ist, werden durch eine Funktionenschar repräsentiert. Diese Funktionenschar heißt unbestimmtes Integral.
- \(I=\int f(x)dx+C\) ; \(C\in\mathbb{R}\)
Sind bei einem Integral die Integrationsgrenzen festgelegt, so liegt ein bestimmtes Integral vor und das Ergebnis ist eine reelle Zahl.
- \(A=\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\in\mathbb{R}\)
\(F(x)\) ist dabei eine beliebige Stammfunktion von \(f(x)\). Falls für die Funktion \(f\) gilt: \(f(x)\geq 0\) für alle \(x\in\left[a;b\right]\) mit \(a<b\), so ist die berechnete Zahl \(A\) die Flächenzahl der Fläche, die von \(G_{f}\), der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x=a\) und \(x=b\) eingeschlossen wird.
Besitzen die Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\) im Inneren des Intervalls \(\left[a;b\right]\) mit \(a<b\) keinen gemeinsamen Punkt, so verläuft beispielsweise der Graph von \(f\) oberhalb dem Graphen von \(g\). Die Flächenzahl der Fläche, die von \(G_{f}\), \(G_{g}\) und den senkrechten Geraden mit den Gleichungen \(x=a\) und \(x=b\) eingeschlossen wird, berechnet sich mit:
Die Integration wird mit Hilfe folgender Integrationsregeln durchgeführt:
- Faktorregel: \(\int c\cdot f(x)dx=c\cdot\int f(x)dx\)
- Summenregel: \(\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)
- Potenzregel: \(\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\) mit \(n\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
- Vertauschungsregel:: \(\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}f(x)dx\)
- Gleiche Grenzen: \(\int\limits_{a}^{a}f(x)dx=0\)
- Intervallregel: \(\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)dx\)
