Aufgaben¶

Aufgabe 1¶

Berechnen Sie das unbestimmte Integral folgender Funktionen.

$f_{1} (x) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{3}{4}$ ; $x \in R$
$f_{2} (x) = - \frac{4}{9} x^{3} + \frac{8}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ ; $x \in R$
$f_{3} (x) = 3 x^{5} - 2 x^{4} + \frac{8}{3} x^{3} - \frac{5}{6} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{3}{5}$ ; $x \in R$

Aufgabe 2¶

Gegeben ist $f : x \mapsto x^{2} - 2 x$ mit $x \in R$ . Berechnen Sie die Flächenzahl der Fläche, von $G_{f}$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[- 1; 3]$ . Berechnen Sie zusätzlich $\int_{- 1}^{3} f (x) d x$ und erklären Sie warum das nicht die gesuchte Flächenzahl ist.

Aufgabe 3¶

Gegeben ist $g : x \mapsto (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ mit $x \in R$ . Berechnen Sie die Flächenzahl der Fläche, die $G_{g}$ mit der $x$ -Achse einschließt. Berechnen Sie auch das entsprechende bestimmte Integral und erklären Sie warum der Wert des bestimmten Integrals nicht gleich mit der berechneten Flächenzahl ist.

Aufgabe 4¶

Wie groß ist die Flächenzahl der Fläche, die der Graph mit der $x$ -Achse einschließt?

$h_{1} (x) = 12 x^{2} - 4 x^{3}$
$h_{2} (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 5 x$
$h_{3} (x) = - x (x^{2} - 4)$

Aufgabe 5¶

Gegeben ist $f : x \mapsto x^{2} - 4 x + 3$ mit $x \in R$ . Berechnen Sie die Flächenzahl der Fläche, von $G_{f}$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[0; 4]$ .

Aufgabe 6¶

Die Fläche zwischen dem Graphen $G_{g}$ der Funktion $g : x \mapsto x^{2} - 2 x$ mit der
$x$ -Achse über dem Intervall $[- 1; 2]$ besteht aus zwei Teilen. Zeigen Sie durch eine einzige Integration, dass beide Teilflächen die gleiche Flächenzahl haben.

Aufgabe 7¶

Gegeben ist die Funktion $h : x \mapsto x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ mit $x \in R$ . Berechnen Sie die Nullstellen von $h$ und untersuchen Sie das Verhalten von $h (x)$ für $x \to \pm \infty$ . Bestimmen Sie Flächenzahl der Fläche, die $G_{h}$ mit der $x$ -Achse einschließt.

Aufgabe 8¶

Berechnen Sie die Flächenzahl der Fläche, die $G_{f}$ und $G_{g}$ über dem Intervall $I$ einschließen.

$f (x) = x^{2} - 2 x$ ; $g (x) = x$ ; $I = [0; 2]$
$f (x) = x^{2} - 2 x$ ; $g (x) = - 1$ ; $I = [0; 2]$

Aufgabe 9¶

Die Graphen von $f$ und $g$ schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche.

$f (x) = x + 2$ ; $g (x) = x^{2}$
$f (x) = 5 - x^{2}$ ; $g (x) = x^{2} - 1$
$f (x) = 4 x - x^{3}$ ; $g (x) = x^{2} + 2 x$
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ; $g (x) = 4 - x$
$f (x) = 1 + \frac{1}{9} x^{2}$ ; $g (x) = 3 - \frac{1}{9} x^{2}$
$f (x) = 10 - x$ ; $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 2$
$f (x) = \frac{3}{2} x^{2}$ ; $g (x) = 6 x - \frac{9}{2}$
$f (x) = 9 x^{2} - 3 x^{3}$ ; $g (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

Aufgabe 10¶

Gegeben ist $h : x \mapsto 4 x - x^{3}$ mit $x \in R$ . $G_{h}$ und die Tangente an $G_{h}$ an der Stelle $x = 1$ schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche.

Aufgabe 11¶

Gegeben ist die Funktion $k : x \mapsto 3 x - x^{3}$ mit $x \in R$ . $G_{k}$ und die Normale durch den Wendepunkt schließen eine endliche Fläche ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche.

Aufgabe 12¶

Gegeben ist die Funktion: $f (x) = - \frac{1}{9} (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$ mit $x \in R$ .

Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von $G_{f}$ und die Gleichungen der Wendetangenten. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ .
Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte von $G_{f}$ . Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Die Gerade mit der Gleichung $g : y = - 4$ schneidet $G_{f}$ in drei Punkte. Berechnen Sie die Abszissen dieser Punkte. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Skizzieren Sie $G_{f}$ und $G_{g}$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
$G_{f}$ , $G_{g}$ und die $x$ -Achse schließen zwei Flächen ein. Kennzeichnen Sie diese Flächen im Koordinatensystem von Aufgabe (e) mit einer Kontur. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Flächen. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.