Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben sind die Punkte \(A(4;-5;8)\) und \(B(3;6;-2)\).

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow{AB}\).

  2. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke \(\overline{AB}\). Leiten Sie zu erst allgemein eine Formel zur Berechnung der Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke her.

  3. Gegeben ist weiter der Vektor \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}4\\ -1\\ -3 \end{pmatrix}\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(C\).

  4. Liegen die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden?

  5. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Dreiecks \(ABC\). Leiten Sie zu erst allgemein eine Formel zur Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks her.

  6. Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und einige zusätzliche Punkte bestimmen ein Parallelogramm. Untersuchen Sie wie viele solcher Punkte es gibt und berechnen Sie deren Koordinaten.

  7. Der Punkt \(C\) ist der Schwerpunkt des Dreiecks \(ABQ\). Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(Q\).

  8. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte \(T_{1}\), \(T_{2}\) und \(T_{3}\) so, dass sie die Strecke \(\overline{PR}\) mit \(P(5;6;-13)\) und \(R(1;2;-1)\) in vier gleiche Teile teilen.

  9. Gegeben sind die Punkte \(K(1;-2;7)\) und \(L(-\frac{10}{7};-\frac{82}{7};-\frac{53}{7})\). Die Strecke \(\overline{VW}\) wird von \(K\) im Verhältnis \(1:4\) geteilt und von \(L\) im Verhältnis \(24:11\). Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte \(V\) und \(W\).