Aufgaben
--------

.. |br| raw:: html

   <br />
   
.. |hr| raw:: html

    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A">
    

Aufgabe 1
^^^^^^^^^

.. :ref:`Teacher´s page <punkte_ortsvektoren_aufgabe01>`.
 
Gegeben sind die Punkte :math:`A(4;-5;8)` und :math:`B(3;6;-2)`.
 
a. Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors :math:`\overrightarrow{AB}`.
b. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke :math:`\overline{AB}`. Leiten Sie zu erst allgemein eine Formel zur Berechnung der Koordinaten des  Mittelpunktes einer Strecke her.
c. Gegeben ist weiter der Vektor :math:`\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}4\\
   -1\\
   -3
   \end{pmatrix}`. Berechnen Sie die Koordinaten von :math:`C`.
d. Liegen die Punkte :math:`A`, :math:`B` und :math:`C` auf einer Geraden?
e. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Dreiecks :math:`ABC`. Leiten Sie zu erst allgemein eine Formel zur Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks her.
f. Die Punkte :math:`A`, :math:`B`, :math:`C` und einige zusätzliche Punkte bestimmen ein Parallelogramm. Untersuchen Sie wie viele solcher Punkte es gibt und berechnen Sie deren Koordinaten.
g. Der Punkt :math:`C` ist der Schwerpunkt des Dreiecks :math:`ABQ`. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes :math:`Q`.
h. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte :math:`T_{1}`, :math:`T_{2}` und :math:`T_{3}` so, dass sie die Strecke :math:`\overline{PR}` mit :math:`P(5;6;-13)` und :math:`R(1;2;-1)` in vier gleiche Teile teilen.
i. Gegeben sind die Punkte :math:`K(1;-2;7)` und :math:`L(-\frac{10}{7};-\frac{82}{7};-\frac{53}{7})`. Die Strecke :math:`\overline{VW}` wird von :math:`K` im Verhältnis :math:`1:4` geteilt und von :math:`L` im Verhältnis :math:`24:11`. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte :math:`V` und :math:`W`.