Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimmen Sie den Definitionsbereich die Nullstellen und die Art der Definitionslücken folgender Funktionen.

  1. \(f(x)=\dfrac{x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10x}{2x^{3}+x^{2}-18x-9}\) ; \(x\in D_{f}\)

  2. \(g(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}-2x}{x^{3}-x^{2}-4x+4}\) ; \(x\in D_{g}\)

    [Hinweis: Beim Zähler ist cleveres Faktorisieren möglich.]

  3. \(h(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{5x-2}\) ; \(x\in D_{h}\)

Aufgabe 2

Ermitteln Sie bei folgenden Funktionen Definitionsbereich, Nullstellen und Art der Definitionslücken.

  1. \(f_{a}(x)=\dfrac{a+x}{x^{2}-9}\) ; \(a\in\mathbb{R}\) ; \(x\in D_{f_{a}}\)

  2. \(g_{a}(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x+a}\) ; \(a\in\mathbb{R}\) ; \(x\in D_{g_{a}}\)

  3. \(h_{n}(x)=\dfrac{(x+2)^{4}}{(x+2)^{n}}\) ; \(n\in\mathbb{N}\) ; \(x\in D_{h_{n}}\)

  4. \(k_{a}(x)=\dfrac{(x+a)^{2}}{(x+2)(x-1)^{3}}\) ; \(a\in\mathbb{R}\) ; \(x\in D_{k_{a}}\)

Aufgabe 3

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion bei Annäherung von \(x\) an die jeweilige Definitionslücke und im Unendlichen.

  1. \(f_{1}(x)=\dfrac{1}{x-2}\) ; \(x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}\)

  2. \(f_{2}(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)^{2}(x+1)}{(x+1)(x+2)}\) ; \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-2;-1\}\)

  3. \(f_{3}(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}+x+8}{2(x^{2}+1)}\) ; \(x\in\mathbb{R}\)

  4. \(f_{4}(x)=\dfrac{2x^{2}+6x}{x^{2}-1}\) ; \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\)

Aufgabe 4

Gegeben ist die reelle Funktion \(f:x\mapsto \dfrac{4x^{2}-4x-3}{2x^{2}-2x-12}\) mit \(x\in D_{f}\).

  1. Bestimmen Sie \(D_{f}\), die Nullstellen von \(f\) und geben Sie die Art der Definitionslücken von \(f\) an.

  2. Untersuchen Sie das Verhalten von \(f(x)\) bei Annäherung von \(x\) an die Definitionslücken und im Unendlichen.

  3. Ermitteln Sie die Art und die Gleichung der Asymptoten von \(G_{f}\) und untersuchen Sie, ob \(G_{f}\) gemeinsame Punkte mit seinen Asymptoten hat.

  4. Zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) die waagerechte Gerade mit der Gleichung \(y=\frac{8}{25}\) berührt und berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes.

  5. Ermitteln Sie den Wertebereich \(W_{f}\) der Funktion \(f\).

  6. Berechnen Sie die Lösungsmenge \(L\) der Ungleichung \(f(x)>10\) und erklären Sie die Bedeutung von \(L\) für \(G_{f}\).

  7. Skizzieren Sie \(G_{f}\) und seine Asymptoten.

Aufgabe 5

Gegeben ist \(g(x)=\dfrac{(2x^{2}+x-1)(x+2)}{3x^{2}-12}\) ; \(x\in D_{g}\).

  1. Bestimmen Sie \(D_{g}\) und die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von \(G_{g}\) mit den Koordinatenachsen.

  2. Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken von \(g\) sowie die Art und die Gleichungen der Asymptoten von \(G_{g}\).

  3. Untersuchen Sie das Verhalten von \(g(x)\) bei Annäherung von \(x\) an die Definitionslücken und im Unendlichen.

  4. Gegeben ist weiter die Funktion \(p(x)=x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Ermitteln Sie die Lösungsmenge \(L\) der Ungleichung \(p(x)>g(x)\) und beschreiben Sie die Bedeutung von \(L\) für \(G_{g}\) und \(G_{p}\) in Worten.

    [zur Kontrolle: \(\dfrac{6x^{3}-13x^{2}-11x+8}{6(x-2)}>0\) ]

  5. Skizzieren Sie \(G_{p}\) und \(G_{g}\) mit Asymptoten.

Aufgabe 6

Gegeben sind die reellen Funktionen \(h_{a}:x\mapsto \dfrac{x^{2}+3(1-a)x-9a}{x^{2}-a^{2}}\) mit \(a\in \mathbb{R}\) und \(x\in D_{h_{a}}\).

  1. Geben Sie den Definitionsbereich \(D_{h_{a}}\) in Abhängigkeit von \(a\) an.

  2. Zeigen Sie dass für den Zähler gilt: \(Z_{a}(x)=\left(x+3\right)\left(x-3a\right)\).

  3. Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken der Funktion \(h_{a}\) in Abhängigkeit von \(a\).

Aufgabe 7

Gegeben ist die reelle Funktion \(f:x\mapsto \dfrac{\frac{1}{2}x^{4}-5x^{2}}{x^{3}-4x}\) mit \(x\in D_{f}\).

  1. Bestimmen Sie \(D_{f}\), die Art der Definitionslücken und die Nullstellen von \(f\).

  2. Untersuchen Sie \(G_{f}\) auf Symmetrie zum Ursprung oder auf Symmetrie zur \(y\)-Achse des Koordinatensystems.

  3. Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten von \(G_{f}\).

  4. Untersuchen Sie das Verhalten von \(f(x)\) bei Annäherung von \(x\) an die Stelle \(x=2\) und \(x=0\).

  5. Ermitteln Sie die Lösungsmenge \(L\) der Ungleichung \(f(x)<1\). Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.

Welche Bedeutung hat \(L\) für \(G_{f}\)? f. Skizzieren Sie \(G_{f}\) mit Asymptoten.

Aufgabe 8

Gegeben sind die reellen Funktionen
\(f:x\mapsto \dfrac{-2(x^{3}-x^{2}+4x-30)}{5(x+2)^{2}}\) mit \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{ -2\right\}\) und
\(g:x\mapsto -\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}\) mit \(D_{g}=\mathbb{R}\).

  1. Zeigen Sie, dass \(x=3\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist.

  2. Geben Sie die Art der Definitionslücke an und untersuchen Sie das Verhalten von \(f(x)\) bei Annäherung von \(x\) an die Definitionslücke.

  3. Bestimmen Sie die Art und die Gleichungen der Asymptoten von \(G_{f}\).

  4. Untersuchen Sie, ob \(G_{f}\) und \(G_{g}\) gemeinsame Punkte besitzen.

  5. Bestimmen Sie den Bereich \(B\) aller \(x\)-Werte, für die bei gleicher Abszisse die Ordinaten der Punkte der schiefen Asymptote höchstens um \(\frac{3}{4}\) größer sind als die Ordinaten der Punkte von \(G_{f}\).

  6. Skizzieren Sie \(G_{f}\) mit Asymptoten und \(G_{g}\).

  7. Gegeben sind die reellen Funktionen
    \(f_{a}:x\mapsto \dfrac{-2(x-3)(x^{2}+2x+a)}{5(x+2)^{2}}\) mit \(D_{f_{a}}=\mathbb{R}\setminus\left\{ -2\right\}\) und \(a\in \mathbb{R}\).
    Ermitteln Sie für welche Werte von \(a\) die Funktion \(f_{a}\) eine doppelte Nullstelle hat.