Aufgaben -------- .. |br| raw:: html
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Aufgabe 1 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Bestimmen Sie den Definitionsbereich die Nullstellen und die Art der Definitionslücken folgender Funktionen. a. :math:`f(x)=\dfrac{x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10x}{2x^{3}+x^{2}-18x-9}` ; :math:`x\in D_{f}` b. :math:`g(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}-2x}{x^{3}-x^{2}-4x+4}` ; :math:`x\in D_{g}` [Hinweis: Beim Zähler ist cleveres Faktorisieren möglich.] c. :math:`h(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{5x-2}` ; :math:`x\in D_{h}` Aufgabe 2 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Ermitteln Sie bei folgenden Funktionen Definitionsbereich, Nullstellen und Art der Definitionslücken. a. :math:`f_{a}(x)=\dfrac{a+x}{x^{2}-9}` ; :math:`a\in\mathbb{R}` ; :math:`x\in D_{f_{a}}` b. :math:`g_{a}(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x+a}` ; :math:`a\in\mathbb{R}` ; :math:`x\in D_{g_{a}}` c. :math:`h_{n}(x)=\dfrac{(x+2)^{4}}{(x+2)^{n}}` ; :math:`n\in\mathbb{N}` ; :math:`x\in D_{h_{n}}` d. :math:`k_{a}(x)=\dfrac{(x+a)^{2}}{(x+2)(x-1)^{3}}` ; :math:`a\in\mathbb{R}` ; :math:`x\in D_{k_{a}}` Aufgabe 3 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion bei Annäherung von :math:`x` an die jeweilige Definitionslücke und im Unendlichen. a. :math:`f_{1}(x)=\dfrac{1}{x-2}` ; :math:`x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}` b. :math:`f_{2}(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)^{2}(x+1)}{(x+1)(x+2)}` ; :math:`x\in\mathbb{R}\setminus\{-2;-1\}` c. :math:`f_{3}(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}+x+8}{2(x^{2}+1)}` ; :math:`x\in\mathbb{R}` d. :math:`f_{4}(x)=\dfrac{2x^{2}+6x}{x^{2}-1}` ; :math:`x\in\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}` Aufgabe 4 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Gegeben ist die reelle Funktion :math:`f:x\mapsto \dfrac{4x^{2}-4x-3}{2x^{2}-2x-12}` mit :math:`x\in D_{f}`. a. Bestimmen Sie :math:`D_{f}`, die Nullstellen von :math:`f` und geben Sie die Art der Definitionslücken von :math:`f` an. b. Untersuchen Sie das Verhalten von :math:`f(x)` bei Annäherung von :math:`x` an die Definitionslücken und im Unendlichen. c. Ermitteln Sie die Art und die Gleichung der Asymptoten von :math:`G_{f}` und untersuchen Sie, ob :math:`G_{f}` gemeinsame Punkte mit seinen Asymptoten hat. d. Zeigen Sie rechnerisch, dass :math:`G_{f}` die waagerechte Gerade mit der Gleichung :math:`y=\frac{8}{25}` berührt und berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes. e. Ermitteln Sie den Wertebereich :math:`W_{f}` der Funktion :math:`f`. f. Berechnen Sie die Lösungsmenge :math:`L` der Ungleichung :math:`f(x)>10` und erklären Sie die Bedeutung von :math:`L` für :math:`G_{f}`. g. Skizzieren Sie :math:`G_{f}` und seine Asymptoten. Aufgabe 5 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Gegeben ist :math:`g(x)=\dfrac{(2x^{2}+x-1)(x+2)}{3x^{2}-12}` ; :math:`x\in D_{g}`. a. Bestimmen Sie :math:`D_{g}` und die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von :math:`G_{g}` mit den Koordinatenachsen. b. Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken von :math:`g` sowie die Art und die Gleichungen der Asymptoten von :math:`G_{g}`. c. Untersuchen Sie das Verhalten von :math:`g(x)` bei Annäherung von :math:`x` an die Definitionslücken und im Unendlichen. d. Gegeben ist weiter die Funktion :math:`p(x)=x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}` mit :math:`x\in\mathbb{R}`. Ermitteln Sie die Lösungsmenge :math:`L` der Ungleichung :math:`p(x)>g(x)` und beschreiben Sie die Bedeutung von :math:`L` für :math:`G_{g}` und :math:`G_{p}` in Worten. [zur Kontrolle: :math:`\dfrac{6x^{3}-13x^{2}-11x+8}{6(x-2)}>0` ] e. Skizzieren Sie :math:`G_{p}` und :math:`G_{g}` mit Asymptoten. Aufgabe 6 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Gegeben sind die reellen Funktionen :math:`h_{a}:x\mapsto \dfrac{x^{2}+3(1-a)x-9a}{x^{2}-a^{2}}` mit :math:`a\in \mathbb{R}` und :math:`x\in D_{h_{a}}`. a. Geben Sie den Definitionsbereich :math:`D_{h_{a}}` in Abhängigkeit von :math:`a` an. b. Zeigen Sie dass für den Zähler gilt: :math:`Z_{a}(x)=\left(x+3\right)\left(x-3a\right)`. c. Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken der Funktion :math:`h_{a}` in Abhängigkeit von :math:`a`. Aufgabe 7 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Gegeben ist die reelle Funktion :math:`f:x\mapsto \dfrac{\frac{1}{2}x^{4}-5x^{2}}{x^{3}-4x}` mit :math:`x\in D_{f}`. a. Bestimmen Sie :math:`D_{f}`, die Art der Definitionslücken und die Nullstellen von :math:`f`. b. Untersuchen Sie :math:`G_{f}` auf Symmetrie zum Ursprung oder auf Symmetrie zur :math:`y`-Achse des Koordinatensystems. c. Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten von :math:`G_{f}`. d. Untersuchen Sie das Verhalten von :math:`f(x)` bei Annäherung von :math:`x` an die Stelle :math:`x=2` und :math:`x=0`. e. Ermitteln Sie die Lösungsmenge :math:`L` der Ungleichung :math:`f(x)<1`. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma. Welche Bedeutung hat :math:`L` für :math:`G_{f}`? f. Skizzieren Sie :math:`G_{f}` mit Asymptoten. Aufgabe 8 ^^^^^^^^^ .. :ref:`Teacher´s page `. Gegeben sind die reellen Funktionen |br| :math:`f:x\mapsto \dfrac{-2(x^{3}-x^{2}+4x-30)}{5(x+2)^{2}}` mit :math:`D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{ -2\right\}` und |br| :math:`g:x\mapsto -\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}` mit :math:`D_{g}=\mathbb{R}`. a. Zeigen Sie, dass :math:`x=3` die einzige Nullstelle von :math:`f` ist. b. Geben Sie die Art der Definitionslücke an und untersuchen Sie das Verhalten von :math:`f(x)` bei Annäherung von :math:`x` an die Definitionslücke. c. Bestimmen Sie die Art und die Gleichungen der Asymptoten von :math:`G_{f}`. d. Untersuchen Sie, ob :math:`G_{f}` und :math:`G_{g}` gemeinsame Punkte besitzen. e. Bestimmen Sie den Bereich :math:`B` aller :math:`x`-Werte, für die bei gleicher Abszisse die Ordinaten der Punkte der schiefen Asymptote höchstens um :math:`\frac{3}{4}` größer sind als die Ordinaten der Punkte von :math:`G_{f}`. f. Skizzieren Sie :math:`G_{f}` mit Asymptoten und :math:`G_{g}`. g. Gegeben sind die reellen Funktionen |br| :math:`f_{a}:x\mapsto \dfrac{-2(x-3)(x^{2}+2x+a)}{5(x+2)^{2}}` mit :math:`D_{f_{a}}=\mathbb{R}\setminus\left\{ -2\right\}` und :math:`a\in \mathbb{R}`. |br| Ermitteln Sie für welche Werte von :math:`a` die Funktion :math:`f_{a}` eine doppelte Nullstelle hat.