Aufgaben

Aufgabe 1

Skizzieren Sie: \(f(x)=\ln x\) ; \(f_{1}(x)=\ln(2x)\) ; \(f_{2}(x)=\ln(x^{2})\) ; \(f_{3}(x)=\ln\dfrac{1}{x}\) ; \(f_{4}(x)=\ln(3-2x)\) ; \(f_{5}(x)=\ln(2x-1)\).

Aufgabe 2

In welchem Punkt des Graphen der \(\ln\)-Funktion ist die Tangente eine Ursprungsgerade?

Aufgabe 3

Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Nullstellen und die erste Ableitung folgender Funktionen.

1. \(f(x)=\ln \left( 2x\right)\)

2. \(f(x)=\ln \left( x+2\right)\)

3. \(f(x)=\ln \left( x^{2}\right)\)

4. \(f(x)=\ln \dfrac{2-x}{x^{2}}\)

5. \(f(x)=\ln \dfrac{x+2}{2x}\)

6. \(f(x)=\ln \dfrac{x^{2}}{4+x}\)

7. \(f(x)=\ln \left( 4-x^{2}\right)\)

8. \(f(x)=\ln \dfrac{4-x}{x}\)

9. \(f(x)=x\ln x\)

10. \(f(x)=\ln \dfrac{4-x}{1-x}\)

11. \(f(x)=\ln \dfrac{3}{x-1}\)

12. \(f(x)=\dfrac{1-x}{\ln x}\)

Aufgabe 4

Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der Prioritätsregeln.

1. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left(x^{3}\cdot e^{x}\right)\)

2. \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\left[\left(x-1\right)\ln x\right]\) ; \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left[\left(x-1\right)\ln x\right]\)

3. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left[\left(x^{3}+5\right)\cdot e^{-x}\right]\)

4. \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{x+1}{\ln x}\) ; \(\underset{x\rightarrow1^{\pm}}{\lim}\dfrac{x+1}{\ln x}\) ; \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\dfrac{x+1}{\ln x}\)

5. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left( \dfrac{x^{2}-x^{3}}{3}\cdot e^{-x}\right )\)

6. \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\left[x\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}\right]\) ; \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left[x\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}\right]\)

7. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\dfrac{x^{2}+e^{x}}{e^{2x}-x}\)

8. \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{x+\ln x}{2x-1}\) ; \(\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}^{\pm}}{\lim}\dfrac{x+\ln x}{2x-1}\) ; \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\dfrac{x+\ln x}{2x-1}\)

9. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\dfrac{e^{x}-1}{x+2}\)

10. \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\left[\left(x+1\right)^{3}\cdot\ln x\right]\) ; \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left[\left(x+1\right)^{3}\cdot\ln x\right]\)

11. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left[\left(x^{3}+5\right)\cdot e^{-x}\right]\)

12. \(\underset{x\rightarrow-3^{-}}{\lim}\dfrac{x^{2}-9}{\ln(-2x-6)}\) ; \(\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\dfrac{x^{2}-9}{\ln(-2x-6)}\)

13. \(\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left[\dfrac{x^{2}}{3}\cdot e^{-x}\right]\)

14. \(\underset{x\rightarrow-2^{+}}{\lim}\left[\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\cdot\ln\left(x+2\right)\right]\)

Aufgabe 5

Gegeben ist \(f:x\mapsto \ln \dfrac{x}{2x-1}\) mit \(x\in D_{f}\).

1. Bestimmen Sie \(D_{f}\) .

2. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) .

3. Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\) .

4. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f\) .

5. Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) .

6. Skizzieren Sie \(G_{f}\) .

7. Berechnen Sie das unbestimmte Integral \(\int f(x)dx\) .

8. Die Asymptoten mit den Gleichungen \(v_{2}:x=\frac{1}{2}\) und \(h:y=\ln \frac{1}{2}\), der Graph \(G_{f}\) und die Senkrechte mit der Gleichung \(x=4\) schließen eine Fläche ein, die nicht geschlossen ist. Kennzeichnen Sie diese Fläche mit einer Kontur und zeigen Sie, dass die Flächenzahl dieser unendlich ausgedehnten Fläche eine endliche Zahl ist.

Aufgabe 6

Gegeben: \(f(x)=2\cdot\dfrac{1+\ln x}{x}\) ; \(D=\left]0;\infty \right[\)

1. Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\) und untersuchen Sie das Verhalten von \(f(x)\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

2. Untersuchen Sie die Monotonie von \(f\) und bestimmen Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunktes von \(G_{f}\) .

3. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von \(G_{f}\) .

4. Für einen bestimmten Wert von \(a\) ist die Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(P(a;f(a))\) eine Ursprungsgerade. Bestimmen Sie den Wert von \(a\) und die Gleichung der Tangente \(G_{t}\) .

5. Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{t}\) in ein kartesisches Koordinatensystem.

6. Bestimmen Sie das unbestimmte Integral \(\int f(x)dx\) .

7. Die \(x\)-Achse, \(G_{f}\) und die Gerade mit der Gleichung \(x=b\) mit \(b>1\) schließen ein endliches Flächenstück mit der Flächenzahl \(A(b)\) ein. Bestimmen Sie die Flächenzahl \(A(b)\) .

8. Bestimmen Sie \(b\) so, dass die Flächenzahl den Wert \(9\) hat.

Aufgabe 7

Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale mit Hilfe der partiellen Integration.

1. \(f(x)=5(2x-4)\ln(\frac{2}{5}x-\frac{4}{5})\)

2. \(g(x)=(\frac{1}{5}x+\frac{2}{3})\cdot\ln(4x)\)

3. \(h(x)=\left[\ln(\frac{1}{3}x)\right]^{2}\)