Aufgaben
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.. _logarithmus_aufgaben:

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Aufgabe 1
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Skizzieren Sie: :math:`f(x)=\ln x` ; :math:`f_{1}(x)=\ln(2x)` ; :math:`f_{2}(x)=\ln(x^{2})` ; :math:`f_{3}(x)=\ln\dfrac{1}{x}` ; :math:`f_{4}(x)=\ln(3-2x)` ; :math:`f_{5}(x)=\ln(2x-1)`.

Aufgabe 2
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In welchem Punkt des Graphen der :math:`\ln`-Funktion ist die Tangente eine Ursprungsgerade?

Aufgabe 3
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Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Nullstellen und die erste Ableitung folgender Funktionen.
 
a. :math:`f(x)=\ln \left( 2x\right)`
b. :math:`f(x)=\ln \left( x+2\right)`
c. :math:`f(x)=\ln \left( x^{2}\right)`
d. :math:`f(x)=\ln \dfrac{2-x}{x^{2}}`
e. :math:`f(x)=\ln \dfrac{x+2}{2x}`
f. :math:`f(x)=\ln \dfrac{x^{2}}{4+x}`
g. :math:`f(x)=\ln \left( 4-x^{2}\right)`
h. :math:`f(x)=\ln \dfrac{4-x}{x}`
i. :math:`f(x)=x\ln x`
j. :math:`f(x)=\ln \dfrac{4-x}{1-x}`
k. :math:`f(x)=\ln \dfrac{3}{x-1}`
l. :math:`f(x)=\dfrac{1-x}{\ln x}`

Aufgabe 4
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Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der Prioritätsregeln.

a. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left(x^{3}\cdot e^{x}\right)`
b. :math:`\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\left[\left(x-1\right)\ln x\right]` ; :math:`\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left[\left(x-1\right)\ln x\right]`
c. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left[\left(x^{3}+5\right)\cdot e^{-x}\right]`
d. :math:`\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{x+1}{\ln x}` ; :math:`\underset{x\rightarrow1^{\pm}}{\lim}\dfrac{x+1}{\ln x}` ; :math:`\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\dfrac{x+1}{\ln x}`
e. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left( \dfrac{x^{2}-x^{3}}{3}\cdot e^{-x}\right )`
f. :math:`\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\left[x\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}\right]` ; :math:`\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left[x\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}\right]`
g. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\dfrac{x^{2}+e^{x}}{e^{2x}-x}`
h. :math:`\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{x+\ln x}{2x-1}` ; :math:`\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}^{\pm}}{\lim}\dfrac{x+\ln x}{2x-1}` ; :math:`\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\dfrac{x+\ln x}{2x-1}`
i. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\dfrac{e^{x}-1}{x+2}`
j. :math:`\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\left[\left(x+1\right)^{3}\cdot\ln x\right]` ; :math:`\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left[\left(x+1\right)^{3}\cdot\ln x\right]`
k. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left[\left(x^{3}+5\right)\cdot e^{-x}\right]`
l. :math:`\underset{x\rightarrow-3^{-}}{\lim}\dfrac{x^{2}-9}{\ln(-2x-6)}` ; :math:`\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\dfrac{x^{2}-9}{\ln(-2x-6)}`
m. :math:`\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\left[\dfrac{x^{2}}{3}\cdot e^{-x}\right]`
n. :math:`\underset{x\rightarrow-2^{+}}{\lim}\left[\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\cdot\ln\left(x+2\right)\right]`

Aufgabe 5
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Gegeben ist :math:`f:x\mapsto \ln \dfrac{x}{2x-1}` mit :math:`x\in D_{f}`.
 
a. Bestimmen Sie :math:`D_{f}` .
b. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten von :math:`G_{f}` .
c. Berechnen Sie die Nullstelle von :math:`f` .
d. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von :math:`f` .
e. Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten von :math:`G_{f}` .
f. Skizzieren Sie :math:`G_{f}` .
g. Berechnen Sie das unbestimmte Integral :math:`\int f(x)dx` .
h. Die Asymptoten mit den Gleichungen :math:`v_{2}:x=\frac{1}{2}` und :math:`h:y=\ln \frac{1}{2}`, der Graph :math:`G_{f}` und die Senkrechte mit der Gleichung :math:`x=4` schließen eine Fläche ein, die nicht geschlossen ist. Kennzeichnen Sie diese Fläche mit einer Kontur und zeigen Sie, dass die Flächenzahl dieser unendlich ausgedehnten Fläche eine endliche Zahl ist.

Aufgabe 6
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Gegeben: :math:`f(x)=2\cdot\dfrac{1+\ln x}{x}` ; :math:`D=\left]0;\infty \right[`

a. Berechnen Sie die Nullstelle von :math:`f` und untersuchen Sie das Verhalten von :math:`f(x)` an den Rändern des Definitionsbereichs.
b. Untersuchen Sie die Monotonie von :math:`f` und bestimmen Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunktes von :math:`G_{f}` .
c. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von :math:`G_{f}` .
d. Für einen bestimmten Wert von :math:`a` ist die Tangente an :math:`G_{f}` im Punkt :math:`P(a;f(a))` eine Ursprungsgerade. Bestimmen Sie den Wert von :math:`a` und die Gleichung der Tangente :math:`G_{t}` .
e. Skizzieren Sie :math:`G_{f}` und :math:`G_{t}` in ein kartesisches Koordinatensystem.
f. Bestimmen Sie das unbestimmte Integral :math:`\int f(x)dx` .
g. Die :math:`x`-Achse, :math:`G_{f}` und die Gerade mit der Gleichung :math:`x=b` mit :math:`b>1` schließen ein endliches Flächenstück mit der Flächenzahl :math:`A(b)` ein. Bestimmen Sie die Flächenzahl :math:`A(b)` .
h. Bestimmen Sie :math:`b` so, dass die Flächenzahl den Wert :math:`9` hat.

Aufgabe 7
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Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale mit Hilfe der partiellen Integration.

a. :math:`f(x)=5(2x-4)\ln(\frac{2}{5}x-\frac{4}{5})`
b. :math:`g(x)=(\frac{1}{5}x+\frac{2}{3})\cdot\ln(4x)`
c. :math:`h(x)=\left[\ln(\frac{1}{3}x)\right]^{2}`