Aufgaben¶
Aufgabe 1¶
Ein Versicherungsunternehmen bietet auch für junge Leute im Alter von \(25\) bis \(30\) Jahre eine Risikolebensversicherung an, die jeweils für ein Jahr abgeschlossen wird. Für eine Versicherungssumme von \(50000\) € ist eine jährliche Prämie von \(480\) € zu zahlen. Die Sterbewahrscheinlichkeit für junge Leute in diesem Alter beträgt pro Jahr \(0.0075\).
Wie viel nimmt das Unternehmen pro Jahr an einem derartigen Vertrag durchschnittlich ein?
Aufgabe 2¶
Bei Spielautomaten, wie sie in vielen Kneipen zu finden sind, beträgt der Einsatz für ein Spiel \(0.30\) €. Die Tabelle zeigt, wie sich die von einem derartigen Automaten ausgeschütteten Gewinne (in €) verteilen:
Gewinn |
\(0\) |
\(0.30\) |
\(0.60\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
Wahrscheinlichkeit |
\(\;\small{0.75}\) |
\(\;\small{0.14}\) |
\(\;\small{0.05}\) |
\(\;\small{0.03}\) |
\(\;\small{0.02}\) |
\(\;\small{0.01}\) |
Mit welchem Verlust je Spiel muss ein passionierter Spieler rechnen?
Aufgabe 3¶
Ein Verkäufer in der Computer-Branche tritt eine neue Stellung an. Für die Zahl monatlich verkaufter Computer kann man aufgrund zurückliegender Erfahrungen folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung annehmen.
\(x\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
\(5\) |
\(P(X=x)\) |
\(\;\small{0.05}\) |
\(\;\small{0.15}\) |
\(\;\small{0.35}\) |
\(\;\small{0.30}\) |
\(\;\small{0.10}\) |
\(\;\small{0.05}\) |
Der Verkäufer kann zwischen zwei Provisions-Systemen wählen:
\(750\) € Provision pro verkauftem Gerät ohne monatliches Grundgehalt,
monatliches Grundgehalt von \(1000\) € und \(250\) € Provision pro verkauftem Gerät.
Welches System ist für den Verkäufer günstiger?
Aufgabe 4¶
Ein Büroangestellter fährt jeden Morgen immer denselben Weg zur Arbeit. Auf seinem Weg liegen \(5\) Ampeln, die unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) rot sind.
Wie viele Ampeln kann der Angestellte durchschnittlich passieren, bevor er an der ersten roten Ampel anhalten muss?
Aufgabe 5¶
Jemand hat in seiner Hosentasche drei Münzen zu \(10\) Cent, zwei Münzen zu \(50\) Cent und zwei Münzen zu \(1\) €. Er nimmt gleichzeitig zwei der Geldstücke aus seiner Tasche und spendet sie bei einer Wohltätigkeitssammlung.
Mit welchem Spendenbetrag ist durchschnittlich zu rechnen?
Aufgabe 6¶
Tom und Jerry vereinbaren folgendes Glücksspiel. Beide würfeln gleichzeitig mit verschieden farbigen Würfeln. Unterscheiden sich die beiden Augenzahlen um höchstens \(1\), so bekommt Jerry von Tom \(4\) €, ansonsten zahlt Jerry an Tom \(3\) €.
Für wen ist dieses Spiel auf lange Sicht günstiger?
Aufgabe 7¶
Einer Lotterie werden ein erster Preis zu \(1000\) € und ein zweiter Preis zu \(500\) € verlost. Die zugehörigen Gewinnwahrscheinlichkeiten betragen \(0.005\) für den ersten Pries und \(0.008\) für den zweiten Preis.
Wie muss man den Preis für ein Los wählen, wenn diese Lotterie fair sein soll?
Aufgabe 8¶
Zwei LAPLACE-Münzen werden gleichzeitig solange geworfen, bis beide Münzen Kopf zeigen, jedoch höchstens sechsmal.
Mit welcher Anzahl von Würfen muss man durchschnittlich rechnen, bis man Erfolg hat?
Aufgabe 9¶
Zwei verschiedene Firmen werben für je ein Schlafmittel, dessen Einnahme \(8\) Stunden Schlaf verspricht. Die beiden Schlafmittel werden im Hinblick auf den Wahrheitsgehalt dieser Werbung getestet. Bezeichnet \(X\) bzw. \(Y\) die Schlafdauer in Stunden für das Mittel A bzw. das Mittel B, so liefert der Test folgendes Ergebnis.
\(x, y\) |
\(\;\small{6.5}\) |
\(\;\small{7}\) |
\(\;\small{7.5}\) |
\(\;\small{8}\) |
\(\;\small{8.5}\) |
\(\;\small{9}\) |
\(\;\small{9.5}\) |
\(P(X=x)\) |
\(\small{0.02}\) |
\(\small{0.08}\) |
\(\small{0.18}\) |
\(\small{0.44}\) |
\(\small{0.19}\) |
\(\small{0.06}\) |
\(\small{0.03}\) |
\(P(Y=y)\) |
\(\small{0}\) |
\(\small{0.13}\) |
\(\small{0.23}\) |
\(\small{0.30}\) |
\(\small{0.19}\) |
\(\small{0.15}\) |
\(\small{0}\) |
Es stellt sich die Frage, welches der beiden Schlafmittel zuverlässiger ist.
Aufgabe 10¶
Ein Hersteller von elektrischen Maschinen untersucht die jährlichen Reparatur- und Wartungskosten für die von ihm gelieferten Maschinen.
\(\;\small{0}\) € |
\(\;\small{20}\) € |
\(\;\small{40}\) € |
\(\;\small{60}\) € |
\(\;\small{80}\) € |
\(\;\small{100}\) € |
|
\(\small{35} \%\) |
\(\small{20} \%\) |
\(\small{20} \%\) |
\(\small{12} \%\) |
\(\small{8} \%\) |
\(\small{5} \%\) |
Welche Gebühr für einen Wartungsvertrag sollte der Hersteller kalkulieren?
Wie hoch ist die Gebühr zu wählen, wenn der Hersteller zur Sicherheit zusätzlich noch die einfache Standardabweichung dazu zählt?
Aufgabe 11¶
Berechnen Sie zu den gegebenen Zufallsgrößen den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\).
\(x\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
\(\small{4}\) |
\(P(X_{1}=x)\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(x\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
\(\small{4}\) |
\(P(X_{2}=x)\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(x\) |
\(\small{-2}\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{4}\) |
\(\small{6}\) |
\(P(X_{3}=x)\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(x\) |
\(\small{0}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
\(\small{4}\) |
\(\small{5}\) |
\(P(X_{4}=x)\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.1}\) |
\(x\) |
\(\small{4}\) |
\(\small{5}\) |
\(\small{6}\) |
\(\small{7}\) |
\(P(X_{5}=x)\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
Aufgabe 12¶
Für eine gezinkte Münze fällt Zahl mit der Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{3}\). Diese Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsgröße \((X)\) beschreibt die Anzahl, mit der Kopf unmittelbar hintereinander auftritt.
Berechnen Sie die Varianz :math:sigma^{2}` und die Standardabweichung \(\sigma\).
Aufgabe 13¶
In einem Karton befinden sich sechs Glühbirnen, wovon zwei defekt sind. Man entnimmt aus dem Karton ohne Zurücklegen so lange eine Glühbirne, bis man auf die erste defekte Birne trifft. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der benötigten Versuche.
Berechnen Sie die Varianz \(\sigma^{2}\) und die Standardabweichung \(\sigma\).
Aufgabe 14¶
Bei einem Glücksspiel wirft man gleichzeitig drei Würfel. Bei einem Einsatz von \(1\) € erhält man \(40\) € bei der Augensumme \(18\) und \(20\) € bei der Augensumme \(17\) zurück.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für den Reingewinn des Veranstalters.
Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn man sowohl den Einsatz als auch die Gewinnbeträge verdoppelt?
