Aufgaben¶
Aufgabe 1¶
Ein Versicherungsunternehmen bietet auch für junge Leute im Alter von \(25\) bis \(30\) Jahre eine Risikolebensversicherung an, die jeweils für ein Jahr abgeschlossen wird. Für eine Versicherungssumme von \(50000\) € ist eine jährliche Prämie von \(480\) € zu zahlen. Die Sterbewahrscheinlichkeit für junge Leute in diesem Alter beträgt pro Jahr \(0.0075\).
Wie viel nimmt das Unternehmen pro Jahr an einem derartigen Vertrag durchschnittlich ein?
Aufgabe 2¶
Bei Spielautomaten, wie sie in vielen Kneipen zu finden sind, beträgt der Einsatz für ein Spiel \(0.30\) €. Die Tabelle zeigt, wie sich die von einem derartigen Automaten ausgeschütteten Gewinne (in €) verteilen:
Gewinn |
\(0\) |
\(0.30\) |
\(0.60\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
Wahrscheinlichkeit |
\(\;\small{0.75}\) |
\(\;\small{0.14}\) |
\(\;\small{0.05}\) |
\(\;\small{0.03}\) |
\(\;\small{0.02}\) |
\(\;\small{0.01}\) |
Mit welchem Verlust je Spiel muss ein passionierter Spieler rechnen?
Aufgabe 3¶
Ein Verkäufer in der Computer-Branche tritt eine neue Stellung an. Für die Zahl monatlich verkaufter Computer kann man aufgrund zurückliegender Erfahrungen folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung annehmen.
\(x\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
\(5\) |
\(P(X=x)\) |
\(\;\small{0.05}\) |
\(\;\small{0.15}\) |
\(\;\small{0.35}\) |
\(\;\small{0.30}\) |
\(\;\small{0.10}\) |
\(\;\small{0.05}\) |
Der Verkäufer kann zwischen zwei Provisions-Systemen wählen:
\(750\) € Provision pro verkauftem Gerät ohne monatliches Grundgehalt,
monatliches Grundgehalt von \(1000\) € und \(250\) € Provision pro verkauftem Gerät.
Welches System ist für den Verkäufer günstiger?
Aufgabe 4¶
Ein Büroangestellter fährt jeden Morgen immer denselben Weg zur Arbeit. Auf seinem Weg liegen \(5\) Ampeln, die unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) rot sind.
Wie viele Ampeln kann der Angestellte durchschnittlich passieren, bevor er an der ersten roten Ampel anhalten muss?
Aufgabe 5¶
Jemand hat in seiner Hosentasche drei Münzen zu \(10\) Cent, zwei Münzen zu \(50\) Cent und zwei Münzen zu \(1\) €. Er nimmt gleichzeitig zwei der Geldstücke aus seiner Tasche und spendet sie bei einer Wohltätigkeitssammlung.
Mit welchem Spendenbetrag ist durchschnittlich zu rechnen?
Aufgabe 6¶
Tom und Jerry vereinbaren folgendes Glücksspiel. Beide würfeln gleichzeitig mit verschieden farbigen Würfeln. Unterscheiden sich die beiden Augenzahlen um höchstens \(1\), so bekommt Jerry von Tom \(4\) €, ansonsten zahlt Jerry an Tom \(3\) €.
Für wen ist dieses Spiel auf lange Sicht günstiger?
Aufgabe 7¶
Einer Lotterie werden ein erster Preis zu \(1000\) € und ein zweiter Preis zu \(500\) € verlost. Die zugehörigen Gewinnwahrscheinlichkeiten betragen \(0.005\) für den ersten Pries und \(0.008\) für den zweiten Preis.
Wie muss man den Preis für ein Los wählen, wenn diese Lotterie fair sein soll?
Aufgabe 8¶
Zwei LAPLACE-Münzen werden gleichzeitig solange geworfen, bis beide Münzen Kopf zeigen, jedoch höchstens sechsmal.
Mit welcher Anzahl von Würfen muss man durchschnittlich rechnen, bis man Erfolg hat?
Aufgabe 9¶
Zwei verschiedene Firmen werben für je ein Schlafmittel, dessen Einnahme \(8\) Stunden Schlaf verspricht. Die beiden Schlafmittel werden im Hinblick auf den Wahrheitsgehalt dieser Werbung getestet. Bezeichnet \(X\) bzw. \(Y\) die Schlafdauer in Stunden für das Mittel A bzw. das Mittel B, so liefert der Test folgendes Ergebnis.
\(x, y\) |
\(\;\small{6.5}\) |
\(\;\small{7}\) |
\(\;\small{7.5}\) |
\(\;\small{8}\) |
\(\;\small{8.5}\) |
\(\;\small{9}\) |
\(\;\small{9.5}\) |
\(P(X=x)\) |
\(\small{0.02}\) |
\(\small{0.08}\) |
\(\small{0.18}\) |
\(\small{0.44}\) |
\(\small{0.19}\) |
\(\small{0.06}\) |
\(\small{0.03}\) |
\(P(Y=y)\) |
\(\small{0}\) |
\(\small{0.13}\) |
\(\small{0.23}\) |
\(\small{0.30}\) |
\(\small{0.19}\) |
\(\small{0.15}\) |
\(\small{0}\) |
Es stellt sich die Frage, welches der beiden Schlafmittel zuverlässiger ist.
Aufgabe 10¶
Ein Hersteller von elektrischen Maschinen untersucht die jährlichen Reparatur- und Wartungskosten für die von ihm gelieferten Maschinen.
\(\;\small{0}\) € |
\(\;\small{20}\) € |
\(\;\small{40}\) € |
\(\;\small{60}\) € |
\(\;\small{80}\) € |
\(\;\small{100}\) € |
|
\(\small{35} \%\) |
\(\small{20} \%\) |
\(\small{20} \%\) |
\(\small{12} \%\) |
\(\small{8} \%\) |
\(\small{5} \%\) |
Welche Gebühr für einen Wartungsvertrag sollte der Hersteller kalkulieren?
Wie hoch ist die Gebühr zu wählen, wenn der Hersteller zur Sicherheit zusätzlich noch die einfache Standardabweichung dazu zählt?
Aufgabe 11¶
Berechnen Sie zu den gegebenen Zufallsgrößen den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\).
\(x\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
\(\small{4}\) |
\(P(X_{1}=x)\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(x\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
\(\small{4}\) |
\(P(X_{2}=x)\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(x\) |
\(\small{-2}\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{4}\) |
\(\small{6}\) |
\(P(X_{3}=x)\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(x\) |
\(\small{0}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
\(\small{4}\) |
\(\small{5}\) |
\(P(X_{4}=x)\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
\(\small{0.1}\) |
\(x\) |
\(\small{4}\) |
\(\small{5}\) |
\(\small{6}\) |
\(\small{7}\) |
\(P(X_{5}=x)\) |
\(\small{0.1}\) |
\(\small{0.4}\) |
\(\small{0.3}\) |
\(\small{0.2}\) |
Aufgabe 12¶
Für eine gezinkte Münze fällt Zahl mit der Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{3}\). Diese Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsgröße \((X)\) beschreibt die Anzahl, mit der Kopf unmittelbar hintereinander auftritt.
Berechnen Sie die Varianz :math:sigma^{2}` und die Standardabweichung \(\sigma\).
Aufgabe 13¶
In einem Karton befinden sich sechs Glühbirnen, wovon zwei defekt sind. Man entnimmt aus dem Karton ohne Zurücklegen so lange eine Glühbirne, bis man auf die erste defekte Birne trifft. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der benötigten Versuche.
Berechnen Sie die Varianz \(\sigma^{2}\) und die Standardabweichung \(\sigma\).
Aufgabe 14¶
Bei einem Glücksspiel wirft man gleichzeitig drei Würfel. Bei einem Einsatz von \(1\) € erhält man \(40\) € bei der Augensumme \(18\) und \(20\) € bei der Augensumme \(17\) zurück.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für den Reingewinn des Veranstalters.
Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn man sowohl den Einsatz als auch die Gewinnbeträge verdoppelt?
Aufgabe 15¶
Bestimmen Sie mit Hilfe des Tafelwerks folgende Wahrscheinlichkeiten.
\(P(X\leq 6)\) ; \(n=8\) ; \(p=0.4\)
\(P(X\leq 11)\) ; \(n=20\) ; \(p=0.2\)
\(P(X\leq 11)\) ; \(n=50\) ; \(p=0.5\)
\(P(X\leq 5)\) ; \(n=9\) ; \(p=\frac{2}{3}\)
\(P(X\leq 69)\) ; \(n=100\) ; \(p=0.7\)
\(P(X\leq 19)\) ; \(n=20\) ; \(p=0.6\)
Aufgabe 16¶
Bestimmen Sie mit Hilfe des Tafelwerks folgende Wahrscheinlichkeiten.
\(P(X\leq 3)\) ; \(n=50\) ; \(p=0.03\)
\(P(X<17)\) ; \(n=20\) ; \(p=0.6\)
\(P(X\geq 5)=\) ; \(n=9\) ; \(p=\frac{1}{3}\)
\(P(X>7)\) ; \(n=12\) ; \(p=0.9\)
\(P(19\leq X\leq 23)\) ; \(n=50\) ; \(p=0.3\)
\(P(50<X<70)\) ; \(n=100\) ; \(p=0.6\)
\(P(7\leq X<12)\) ; \(n=15\) ; \(p=\frac{2}{3}\)
\(P(7<X<15)\) ; \(n=15\) ; \(p=0.9\)
Aufgabe 17¶
Bestimmen Sie mit Hilfe der Tabellen eines Tafelwerks die Zahl \(k\in\mathbb{N}\), für die erstmals die angegebene Bedingung erfüllt ist.
\(P(X\leq k)>0.25\) ; \(n=10\) ; \(p=0.4\)
\(P(X\leq k)>0.1\) ; \(n=20\) ; \(p=0.7\)
\(P(X\leq k)>0.95\) ; \(n=8\) ; \(p=0.03\)
\(P(X\leq k)>0.95\) ; \(n=10\) ; \(p=0.2\)
\(P(X\leq k)>0.8\) ; \(n=100\) ; \(p=\frac{2}{3}\)
\(P(X\leq k)>0.8\) ; \(n=50\) ; \(p=0.8\)
Aufgabe 18¶
In einer deutschen Großstadt rauchen \(40\,\%\) der erwachsenen Einwohner. Zehn zufällig ausgewählte Erwachsene werden nach ihren Rauchgewohnheiten befragt.
Weshalb kann man hier eine Binomialverteilung zu Grunde legen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als vier der Befragten Raucher?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft man auf mindestens zwei und höchstens fünf Raucher?
Aufgabe 19¶
Zu kleine Stichproben ergeben oft ein falsches Bild. In einem fernen Land befürworten \(60\,\%\) der Bewohner die Fortschrittspartei und \(40\,\%\) die Volkspartei. Ein Reporter befragt vier Bürger. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Mehrheit für die Fortschrittspartei entscheidet?
Aufgabe 20¶
Fünf Arbeiter, die in einer Werkstatt unabhängig voneinander arbeiten, benötigen ein Spezialwerkzeug, und zwar jeder mit Unterbrechungen durchschnittlich \(10\) Minuten pro Stunde. Reichen drei dieser Werkzeuge aus, wenn man in Kauf nehmen will, dass ein Arbeiter mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens \(1\,\%\) warten muss?
Aufgabe 21¶
Von einer bestimmten Sorte von Feuerwerkskörpern, wie sie vor Silvester verkauft werden, weiß man aus längerer Erfahrung, dass durchschnittlich \(20\,\%\) nicht zünden.
Erna kauft drei dieser Feuerwerkskörper. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei davon zünden?
Jonas möchte zu \(95\,\%\) sicher sein, dass mindestens zwei seiner Feuerwerkskörper auch wirklich zünden. Er kauft vier Feuerwerkskörper. Reichen sie aus?
Aufgabe 22¶
In einer Werkskantine werden freitags ein Fischgericht und zwei Fleischgerichte angeboten. Von den 100 in der Kantine essenden Werksangehörigen wählt erfahrungsgemäß jeder vierte das Fischgericht.
Die Küche bereitet 25 Fischgerichte vor. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen sie aus?
Wie viele Fischgerichte müssen vorbereitet werden, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) ausreichen?
Aufgabe 23¶
Die Managerin eines Busunternehmens ist gerade dabei, die vorhandenen Busse für anstehende Fahrten zu planen.
Die Firmenmanagerin weiß aus Erfahrung, dass \(10\,\%\) der Buchungen für eine bestimmte Tagesfahrt wieder storniert werden. Sie sieht einen Bus mit \(47\) Plätzen vor und nimmt \(50\) Buchungen entgegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein größerer Bus als der geplante eingesetzt werden muss?
Für eine andere Fahrt nimmt die Managerin \(50\) Buchungen entgegen. Die Wahrscheinlichkeit für die Stornierung einer Buchung beträgt wieder \(10\,\%\). Wie viele Plätze muss der für die Fahrt vorgesehene Bus mindestens haben, wenn das Risiko, einen größeren Bus einsetzen zu müssen, höchstens \(5\,\%\) betragen soll?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(50\) vorliegenden Buchungen und erfahrungsgemäß \(10\,\%\) Stornierungen die Zahl der beförderten Fahrgäste mindestens \(43\) und höchstens \(46\) beträgt?
Aufgabe 24¶
Anton fährt jeden Morgen den gleichen Weg zur Arbeit. Auf seiner Fahrstrecke liegen \(15\) Ampeln, die unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass er an einer Ampel anhalten muss, beträgt \(45\,\%\). Wenn Anton morgens an weniger als sechs Ampeln anhalten muss, hat er noch Zeit, vor dem Arbeitsbeginn eine Tasse Kaffee zu trinken. Trifft er dagegen auf mehr als neun rote Ampeln, so kommt er wieder einmal zu spät. Ist dies in einer Woche mit fünf Arbeitstagen mehr als einmal der Fall, so muss er am Freitag eine Stunde länger arbeiten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt Anton in einer Woche an genau zwei Arbeitstagen in den Genuss einer Tasse Kaffee vor Arbeitsbeginn?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies an zwei beliebigen aufeinander folgenden Arbeitstagen innerhalb einer Woche der Fall?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Anton an einem Freitag länger arbeiten?
Aufgabe 25¶
Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Streuung für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den gegebenen Parametern.
\(n=700\) und \(p=0.2\)
\(n=75\) und \(p=0.75\)
\(n=500\) und \(p=0.9\)
Aufgabe 26¶
Berechnen Sie für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) die Parameter \(n\) und \(p\), wenn für Erwartungswert \(\mu\) und Streuung \(\sigma^{2}\) bekannt sind.
\(\mu=20\) und \(\sigma=4\)
\(\mu=18\) und \(\sigma=3\)
Aufgabe 27¶
\(X\) ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern \(n=10\) sowie \(p=0.4\). Berechnen Sie mit dem Tafelwerk die geforderten Wahrscheinlichkeiten.
\(P(X=5)\)
\(P(X\leq\mu)\)
\(P(X\leq\mu+\sigma)\)
\(P(|X-\mu|<10\cdot\sigma)\)
\(P(|X-\mu|>3)\)
Aufgabe 28¶
In einem gefährlichen Autobahntunnel übertreten erfahrungsgemäß \(30\,\%\) der Autofahrer die vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit. Ein Radarwagen der Polizei kontrolliert \(250\) Fahrzeuge. Mit wie vielen Bußbescheiden ist zu rechnen? Wie groß ist dabei die Streuung?
Aufgabe 29¶
Jack hat für einen Test absolut nichts gelernt. Er muss insgesamt \(20\) Multiple-Choice-Aufgaben bearbeiten. Jede Aufgabe besitzt vier Antwortalternativen, von denen genau eine richtig ist.
Mit wie vielen richtigen Antworten kann Jack rechnen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der von Jack richtig gelösten Aufgaben den Erwartungswert um mehr als \(\sigma\) übertrifft?
Aufgabe 30¶
Ein Test besteht aus \(15\) Multiple-Choice-Fragen, jede mit vier Antwortalternativen, von denen genau eine richtig ist. Ein Prüfling rät bei jeder der Fragen.
Bestimmen Sie den Erwartungswert und den wahrscheinlichsten Wert für die Anzahl der richtig beantworteten Fragen.
Der Prüfling brüstet sich nach der Prüfung mit der Behauptung, alle Fragen falsch beantwortet zu haben. Ist diese Aussage des Prüflings realistisch?
Aufgabe 31¶
Eine Schule hat \(800\) Schüler. Am Ende des Schuljahres erreichen durchschnittlich \(5\,\%\) der Schüler nicht das Klassenziel. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der nicht versetzten Schüler.
Bestimmen Sie das \(\sigma\)-Intervall und das :math`1.5sigma`-Intervall um den Erwartungswert von \(X\).
Zum Ende des Schuljahres werden insgesamt \(46\) Schüler nicht versetzt. Ein Schüler behauptet, dass der Grund hierfür in der besonders strengen Notengebung der Lehrer im letzten Schuljahr liegt. Hat er Recht?
Aufgabe 32¶
Von den \(50\) Lehrern einer Schule kommen durchschnittlich \(80\,\%\) mit dem eigenen Auto zur Schule. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der benötigten Parkplätze.
Berechnen Sie das \(2\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert von \(X\) sowie die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen \(35\) Parkplätze aus?
Wie viele Parkplätze müssen vorhanden sein, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(98\,\%\) ausreichen?
Aufgabe 33¶
Die Fernsehübertragung eines entscheidenden Fußballspiels der deutschen Fußballnationalmannschaft wurde von \(60\,\%\) aller Einwohner gesehen. Am nächsten Tag werden von einem Reporterteam \(100\) Personen nach ihrer Meinung zum Spiel befragt. Bestimmen Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem mit mindestens \(90\,\%\) Sicherheit die Zahl der Befragten liegt, die das Spiel gesehen haben.
Aufgabe 34¶
Zu Beginn des Schuljahres findet für die Eltern der neu aufgenommenen Schüler einer Schule eine Informationsveranstaltung statt. Eingeladen sind dazu beide Elternteile. Erfahrungsgemäß folgen \(80\,\%\) der Eltern der Einladung. In diesem Schuljahr wurden \(50\) Sextaner neu aufgenommen.
Die Aula der Schule verfügt über \(75\) Sitzplätze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen diese aus?
Wie viele Stühle muss man in der Aula zusätzlich bereithalten, damit das Risiko, zu wenige Sitzplätze zu haben, weniger als \(2\,\%\) beträgt?
Bestimmen Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Zahl der erscheinenden Eltern mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit liegt?
