Aufgaben¶
Aufgabe 1¶
Die Nullhypothese \(H_{0}:p=0.25\) soll gegen die Alternative \(H_{1}:p>0.25\) durch eine Stichprobe vom Umfang \(100\) getestet werden.
Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von \(5~\%\) . Wie groß ist das Risiko 2. Art, wenn in Wirklichkeit \(p=0.40\) gilt?
Der Ablehnungsbereich wurde als \(\overline{A}=\{35,\ldots ,100\}\) festgelegt. Wie groß ist das Risiko 1. Art?
Beschreiben Sie das Risiko 2. Art.
Aufgabe 2¶
Ein Hersteller von Werkstücken möchte seinen Ausschussanteil verringern und entschließt sich, bei der Produktion eine neue Software einzusetzen. Vor der endgültigen Aufnahme der Produktion behauptet der Hersteller gegenüber der Softwarefirma, dass der Ausschussanteil der Werkstücke immer noch über \(5~\%\) liege (Gegenhypothese).
Man entschließt sich zu einem Test, bei dem \(200\) mit der neuen Software produzierte Werksstücke auf dem \(5~\%\)-Niveau überprüft werden.
Geben Sie die Testgröße, die Art des Tests und die Nullhypothese an und ermitteln den größtmöglichen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese.
Kann die Behauptung des Herstellers abgelehnt werden, wenn man bei dem Test \(14\) fehlerhafte Stücke findet?
Worin besteht bei diesem Test der Fehler 2. Art?
Aufgabe 3¶
Die Mehrheitsfraktion im Stadtrat einer Kreisstadt behauptet, dass sie für ein geplantes Bauvorhaben über eine Zustimmung in der Bevölkerung von \(60~\%\) verfügt. Die Opposition halt diesen Wert für zu hoch gegriffen (Gegenhypothese) und regt an, diese Aussage über einen Test überprüfen zu lassen. Dazu sollen 100 Bürger der Stadt auf dem \(3~\%\)-Niveau befragt werden.
Geben Sie die Testgröße, die Art des Tests sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese.
Worin besteht bei diesem Test der Fehler 2. Art?
Bei der Befragung sprechen sich \(50\) Personen für das Vorhaben aus. Welche Schlussfolgerung lasst sich aus diesem Ergebnis ziehen?
Aufgabe 4¶
Bei Einnahme eines Medikaments betrugen die Heilungschancen bisher \(90~\%\) . Der Hersteller behauptet, die Wirksamkeit bei einem Nachfolgeprodukt auf Grund von Forschungsergebnissen gesteigert zu haben (Gegenhypothese). In einem klinischen Test werden \(100\) Personen mit diesem Nachfolgeprodukt behandelt. Tritt bei \(94\) oder mehr behandelten Personen die erwünschte Wirkung ein, so soll die Behauptung des Herstellers akzeptiert werden.
Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese an.
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine verbesserte Wirkung des Nachfolgeprodukts entscheidet.
Worin besteht bei diesem Test der Fehler 2. Art? Wieso lasst sich der Fehler 2. Art nicht berechnen?
Aufgabe 5¶
Ein Unternehmen garantiert, dass bei ihrem neu entwickelten digitalen Fotodrucker im Schnitt \(95\) von \(100\) erstellten Fotos einwandfrei sind. Der Inhaber eines Drogeriemarktes schafft einen solchen Drucker an. Er hat nach dreimonatiger Nutzung den Eindruck, dass sich die Qualität der Fotos deutlich verschlechtert hat (Gegenhypothese).
Er schlägt dem Unternehmen vor, einen Test mit den nächsten 200 Fotos durchzuführen. Erhält er dabei mindestens \(187\) einwandfreie Fotos, so will er seine Zweifel an der Qualität des Druckers aufgeben.
Geben Sie die Testgröße an und beschreiben Sie, welche Art von Test vorliegt.
Formulieren Sie Nullhypothese in Worten und geben Sie den maximalen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese an.
Berechnen Sie den Fehler 1. Art. Welche Möglichkeiten gibt es, den Test so abzuändern, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kleiner wird.
Das Unternehmen seinerseits schlägt ein geändertes Testverfahren vor. Bei 100 Fotos soll der Fehler 1. Art höchstens \(5~\%\) betragen. Berechnen Sie für diesen Fall den maximalen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese.
Aufgabe 6¶
Ein Heilpraktiker behauptet, eine Methode entwickelt zu haben, mit der er Personen mit allergischen Reaktionen gegen Hunde und Katzen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von \(90~\%\) behandeln kann. Vertreter der Ärztekammer glauben, dass dies zu hoch gegriffen ist (Gegenhypothese).
Man einigt sich auf einen Test mit \(100\) Personen, die von dem Heilpraktiker in einer Klinik unter Aufsicht behandelt werden. Die Behandlung verlauft bei \(80\) der Patienten erfolgreich. Kann die Behauptung des Heilpraktikers auf dem \(3~\%\)-Signifikanzniveau aufrechterhalten werden?
Aufgabe 7¶
Ein Losverkäufer bei einer Tombola behauptet, dass mindestens jedes vierte Los gewinnt. Ein Besucher hat den Verdacht, dass der Verkäufer schwindelt. Er zählt unbemerkt bei \(100\) Losen die Anzahl der Gewinne. Wie groß darf die Anzahl der Gewinne dabei höchstens sein, um den Verkäufer bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von \(2~\%\) als Schwindler entlarven zu können?
Aufgabe 8¶
Bei Volksfesten hört man immer wieder Klagen über schlecht eingeschenkte Maßkrüge. Wirt Goldbier behauptet, dass bei ihm die Wahrscheinlichkeit für einen schlecht eingeschenkten Maßkrug \(10~\%\) betrage. Die Aufsichtsbehörde hat den Eindruck, dass der Anteil der schlecht eingeschenkten Maßkrüge bei Goldbier bedeutend höher als \(10~\%\) ist (Gegenhypothese). Eine kurzfristig anberaumte Stichprobe der Aufsichtsbehörde von \(50\) zufällig ausgewählten, frisch eingeschenkten Maßkrügen soll eine Entscheidung über die Behauptung von Wirt Goldbier bringen.
Goldbier will ein Risiko von höchstens \(5~\%\) eingehen, irrtümlich falsch beschuldigt zu werden. Welche Entscheidungsregel schlägt er vor?
Die Aufsichtsbehörde stellt fest, dass von den \(50\) untersuchten Maßkrügen, \(9\) schlecht eingeschenkt sind? Welche Schlussfolgerung zieht die Aufsichtsbehörde daraus?
Die Aufsichtsbehörde bleibt bei ihrer Entscheidungsregel, obwohl der Verdacht aufgekommen ist, dass der Anteil der schlecht eingeschenkten Maßkrüge bei Wirt Goldbier wesentlich höher ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird von ihr ein Anstieg der schlecht eingeschenkten Maßkrüge bei Goldbier auf jetzt \(20~\%\) nicht erkannt?
Aufgabe 9¶
Das Fahren ohne Fahrerlaubnis in öffentlichen Verkehrsmitteln hat bayernweit zugenommen. Die Stadtverwaltung der Stadt \(N\) ist der Meinung, dass aufgrund von häufig durchgeführten Fahrkartenkontrollen der Anteil der Schwarzfahrer in öffentlichen Verkehrsmitteln bei \(12.5~\%\) liegt. Ein besorgter Bürgervertreter glaubt, dass der Anteil der Schwarzfahrer bedeutend mehr als \(12.5~\%\) beträgt (Gegenhypothese). Um dies zu testen, werden in einer Stichprobe \(200\) Fahrgäste kontrolliert.
Bestimmen Sie die Entscheidungsregel auf dem \(3~\%\)-Signifikanzniveau.
Bei dem Test werden \(20\) Schwarzfahrer erwischt. Welche Schlussfolgerung lässt sich aus diesem Ergebnis ziehen?
Worin besteht bei diesem Test der Fehler 2. Art? Wieso lässt sich der Fehler 2. Art nicht berechnen?
