Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\), wenn \(n\) die Kettenlänge, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit und \(k\) die Trefferzahl der Bernoulli-Kette bezeichnet. Vergleichen Sie Ihre rechnerischen Ergebnisse mit den Werten eines Tafelwerks.

  1. \(B(5;0.5;3)\)

  2. \(B(8;0.6;3)\)

  3. \(B(50;0.02;27)\)

  4. \(B(100;\frac{2}{3};12)\)

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\). Verwenden Sie ein Tafelwerk, falls dies möglich ist. Andernfalls müssen Sie selbst rechnen.

  1. \(B(18;\frac{1}{3};12)\)

  2. \(B(20;0.1;17)\)

  3. \(B(11;0.25;10)\)

  4. \(B(9;\frac{3}{7};2)\)

  5. \(B(25;0.4;13)\)

  6. \(B(15;\frac{5}{6};9)\)

Aufgabe 3

Eine Urne enthält \(15\) Kugeln, die von \(1\) bis \(15\) nummeriert sind. Es werden \(10\) Kugeln mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. Bei jeder Ziehung prüft man, ob eine Primzahl gezogen wurde. Begründen Sie warum das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist. Geben Sie Treffer, Länge und Parameter an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau viermal eine Primzahl gezogen wird.

Aufgabe 4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, beim viermaligen Werfen einer idealen Münze

  1. dreimal Zahl und einmal Wappen zu erhalten,

  2. bei den ersten drei Würfen Zahl und beim letzten Wurf Wappen zu erhalten.

Aufgabe 5

Ein Tennisspieler hat eine konstante Gewinnquote von \(\frac{2}{3}\) für jedes Spiel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er von vier Spielen

  1. genau zwei Spiele gewinnt,

  2. alle Spiele verliert,

  3. mindestens ein Spiel gewinnt.

Aufgabe 6

Bei der Endkontrolle von Farbfernsehgeräten müssen \(5~\%\) der Geräte beanstandet und zu einer Nachbesserung zurückgegeben werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

  1. unter \(10\) geprüften Geräten kein defektes Gerät ist,

  2. unter \(20\) geprüften Geräten genau ein defektes Gerät ist,

  3. unter \(20\) geprüften Geräten mindestens ein defektes Gerät ist.

Aufgabe 7

Zur Beurteilung der zukünftigen wirtschaftlichen Entwicklung geben jedes Jahr fünf Wirtschaftswissenschaftler eine Prognose ab. Es soll angenommen werden, dass sich die Experten unabhängig voneinander äußern und dass jeder die kommende wirtschaftliche Entwicklung mit \(80~\%\) Sicherheit richtig einschätzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

  1. nur der erste und der dritte Weise richtig urteilen,

  2. alle Weisen richtig urteilen,

  3. man kein richtiges Urteil erhält,

  4. man wenigstens ein richtiges Urteil erhält?

Aufgabe 8

Fritzchen spielt oft Schach gegen seinen Freund Max. Beide Freunde besitzen die gleiche Spielstärke. Fritzchen glaubt, dass die beiden Ereignisse E1: „Er gewinnt \(5\) von \(9\) Spielen.“ und E2: „Er gewinnt \(10\) von \(18\) Partien.“ gleichwahrscheinlich sind. Hat er damit Recht?

Aufgabe 9

Bei einem Multiple-Choice-Test werden \(10\) Fragen gestellt. Zu jeder Frage werden \(4\) Antworten angeboten, wobei nur bekannt ist, dass mindestens eine Antwort richtig und mindestens eine falsch ist.

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Frage die richtige Lösung durch reines Raten zu finden.

  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei reinem Raten für die Ereignisse

    • keine richtige Antwort,

    • genau \(5\) richtige Antworten,

    • mindestens eine falsche Antwort.

Aufgabe 10

Berechnen Sie für die Kettenlänge \(n\) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) die Summenwahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten, wenn \(T\) für die Trefferzahl steht.

  1. \(n=8\) ; \(p=0.50\) ; \(P(T\leqslant 3)\)

  2. \(n=6\) ; \(p=0.25\) ; \(P(T<3)\)

  3. \(n=5\) ; \(p=\frac{1}{3}\) ; \(P(T\leqslant 3)\)

  4. \(n=7\) ; \(p=0.75\) ; \(P(T\geqslant 2)\)

  5. \(n=9\) ; \(p=\frac{2}{3}\) ; \(P(T>2)\)

Aufgabe 11

Ein Spieler \(A\) wirft sechsmal einen idealen Würfel und gewinnt, wenn mindestens eine Sechs fällt. Ein Spieler \(B\) wirft einen idealen Würfel zwölf Mal und gewinnt, wenn mindestens zwei Sechsen fallen. Wer hat die größeren Gewinnchancen?

Aufgabe 12

Es soll angenommen werden, dass von einer bestimmten Bevölkerungsgruppe \(40~\%\) Raucher sind. Eine Gruppe von \(10\) Personen wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mehr als \(4\) Raucher sind?

Aufgabe 13

Von \(20\) elektronischen Bauteilen sind durchschnittlich \(5\) fehlerhaft. Aus der großen Anzahl von Bauteilen, die eine Firma an einem Tag produziert, wählt man \(10\) Bauteile aus und überprüft sie auf Funktionstüchtigkeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei mindestens \(5\) fehlerhafte Bauteile?

Aufgabe 14

Ein idealer Würfel wird \(100\)-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Zahl Sechs

  1. höchstens 12mal,

  2. wenigstens 20mal?

Aufgabe 15

Ein Händler bezieht \(200\) Glühbirnen, für die der Ausschussanteil nach Herstellerangabe \(5~\%\) beträgt. Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Herstellerangaben zutreffen, folgende Wahrscheinlichkeiten.

  1. Die Lieferung enthält genau \(10\) defekte Birnen.

  2. Die Lieferung höchstens \(10\) defekte Birnen.

  3. Die Lieferung enthält mindestens \(180\) intakte Birnen.

Aufgabe 16

Eine Werkskantine bietet freitags ein Fischgericht und zwei weitere Menüs an. Von den \(200\) Kantinenbenutzern wählt erfahrungsgemäß jeder dritte das Fischgericht. An einem Freitag bereitet der Kantinenkoch \(66\) Fischgerichte vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Anzahl nicht ausreicht?

Aufgabe 17

Ein Artist schafft einen Doppelsalto mit der Wahrscheinlichkeit \(0,2\). Um ein Engagement beim Zirkus zu erhalten, muss er vorturnen und dabei in \(10\) Versuchen mindestens 6 gelungene Doppelsalti vorweisen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er das Engagement?

Aufgabe 18

Eine Laplace-Münze wird \(50\)-mal geworfen. Man gewinnt, wenn Wappen in weniger als \(20\) Fällen oder öfter als \(30\)-mal fällt. Berechnen Sie die Gewinnchance.

Aufgabe 19

Fritzchen muss sich auf eine Prüfung vorbereiten, in der \(10\) Fragen zu beantworten sind. Zu jeder Frage werden zwei Alternativen gegeben, von denen genau eine richtig ist. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn der Prüfling auf mindestens \(7\) Fragen richtig antwortet.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht Fritzchen die Prüfung, wenn er für die Prüfung überhaupt nichts lernt und bei allen Fragen rät?

  2. Fritzchen überlegt, auf wie viele Fragen er die Antwort wissen muss, damit er durch zufälliges Ankreuzen bei den anderen Fragen immer noch mit mindestens \(75~\%\) Wahrscheinlichkeit besteht.

Aufgabe 20

In jedem Mathematikgrundkurs gibt es bessere und nicht so gute Kollegiaten. Kollegiat Schlau weiß die Antwort auf eine Frage mit einer Wahrscheinlichkeit von \(70~\%\). Kollegiat Faul weiß die Antwort auf eine Frage mit einer Wahrscheinlichkeit von \(20~\%\).

  1. Wie viele Fragen müssen Kollegiat Schlau mindestens gestellt werden, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90~\%\) mindestens fünf Fragen richtig beantwortet?

  2. Wie viele Fragen müssen Kollegiat Faul mindestens gestellt werden, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(75~\%\) mindestens vier Fragen richtig beantwortet?