Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie folgende Skalarprodukte.

  1. \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2% \end{pmatrix}% \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6% \end{pmatrix}% \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ 1% \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 8% \end{pmatrix}% \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2% \end{pmatrix}\)

Aufgabe 2

Untersuchen Sie welche der folgenden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.

\(\vec{a}=% \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2% \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1% \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1% \end{pmatrix}\) ; \(\vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 8% \end{pmatrix}\) ; \(\vec{e}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4% \end{pmatrix}\)

Aufgabe 3

Bestimmen Sie den Parameter \(\lambda \in \mathbb{R}\) so, dass die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufeinander senkrecht stehen.

  1. \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ \lambda \\ -4% \end{pmatrix}% \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0% \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix} 2\lambda \\ -4 \\ 2% \end{pmatrix}% \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1% \end{pmatrix}% \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ \lambda% \end{pmatrix}\)

Aufgabe 4

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

  1. \(\measuredangle \left( \vec{a};\vec{b}\right)=\measuredangle \left(\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 1% \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1% \end{pmatrix}\right)\)

  2. \(\measuredangle \left( \vec{a};\vec{b}\right)=\measuredangle \left(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1% \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8% \end{pmatrix}\right)\)

  3. \(\measuredangle \left( \vec{a};\vec{b}\right)=\measuredangle \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1% \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0% \end{pmatrix}\right)\)

Aufgabe 5

Bestimmen Sie den Parameter \(\lambda \in \mathbb{R}\) so, dass die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) jeweils den gegebenen Winkel miteinander einschließen.

  1. \(\measuredangle \left(\begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \\ 2% \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0% \end{pmatrix}\right) =60^{^\circ}\)

  2. \(\measuredangle \left(\begin{pmatrix} 5 \\ \lambda \\ 0% \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2% \end{pmatrix}\right) =45^{^\circ}\)

Aufgabe 6

Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks \(ABC\).

  1. \(A(3;4;2)\) ; \(B(2;2;1)\) ; \(C(4;5;3)\)

  2. \(A(-2;5;1)\) ; \(B(2;6;2)\) ; \(C(6;-1;3)\)

  3. \(A(7;2;4)\) ; \(B(-1;-2;3)\) ; \(C(-3;4;1)\)

Aufgabe 7

Berechnen Sie die Winkel folgender Vektoren mit den Koordinatenachsen.

  1. \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2% \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{b}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1% \end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{c}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 6% \end{pmatrix}\)

Aufgabe 8

Berechnen Sie folgende Produkte von Vektoren.

  1. \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1% \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1% \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2% \end{pmatrix}\)

  4. \(% \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 6% \end{pmatrix}\)

Aufgabe 9

Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

  1. \(\begin{pmatrix} a_{1} \\ -7 \\ 4% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ b_{3}% \end{pmatrix}% =% \begin{pmatrix} 9 \\ 36 \\ 72% \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} 2 \\ a_{2} \\ -2% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} b_{1} \\ 2 \\ 2% \end{pmatrix}% =% \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 3% \end{pmatrix}\)

Aufgabe 10

Das Vektorprodukt \(\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ a_{3}% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ b_{3}% \end{pmatrix}\) ist parallel zu \(\begin{pmatrix} 2 \\ -9 \\ 6\end{pmatrix}\). Bestimmen Sie \(a_{3}\) und \(b_{3}\).

Aufgabe 11

Berechnen Sie \(b_{1}\) so, dass \(\vec{a}\times \vec{b}\) die Längenzahl \(45\) hat: \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 12

..: ref:Teacher´s page <produkte_vektoren_aufgabe12>.

Berechnen Sie jeweils die Fläche des Parallelogramms.

  1. \(A(3;4;2)\) ; \(B(12;-2;4)\) ; \(C(18;5;-2)\) ; \(D(9;11;-4)\)

  2. \(A(-3;5;1)\) ; \(B(5;1;2)\) ; \(C(9;8;-2)\) ; \(D(1;12;-3)\)

  3. \(A(5;11;4)\) ; \(B(17;15;1)\) ; \(C(25;27;-8)\), \(D(13;23;-5)\)

Aufgabe 13

Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten so, dass das Parallelogramm \(ABCD\) die angegeben Fläche \(F\) hat.

  1. \(A(a_{1};0;-1)\) ; \(B(2;4;-4)\) ; \(D(3;0;-1)\) ; \(F=5\)

  2. \(A(-3;4;1)\) ; \(B(b_{1};5;-1)\) ; \(D(-1;2;2)\) ; \(F=9\)

Aufgabe 14

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

  1. \(A(-4;1;5)\) ; \(B(0;3;1)\) ; \(C(10;-1;0)\)

  2. \(A(1;3;6)\) ; \(B(-1;2;5)\) ; \(C(4;2;7)\)

  3. \(A(2;8;2)\) ; \(B(-2;5;4)\) ; \(C(-5;4;6)\)

Aufgabe 15

Berechnen Sie die Volumenmaßzahl des Spats, der durch die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) bestimmt wird.

  1. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 4\\ -1 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}8\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 16

Bestimmen Sie den Vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\) so, dass der von \(\vec{a}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}\) bestimmte Spat die Volumenmaßzahl \(6\) hat.

Aufgabe 17

Untersuchen Sie die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) auf lineare Unabhängigkeit.

  1. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}5\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}10\\ 5\\ 7 \end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}-5\\ 8\\ 10 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 12 \end{pmatrix}\)

  4. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}8\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}6\\ -7\\ -4 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 18

Für welche Zahlen sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) linear abhängig?

  1. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ -4 \end{pmatrix}\)

  2. \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}b\\ 2\\ b \end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix}1\\ 8\\ -2 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 19

Für welche Zahlen sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) linear unabhängig?

  1. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}-4\\ 6\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}4\\ c\\ 2c \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\ 6a\\ -3 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ -6 \end{pmatrix}\) ; \(\vec{c}=\begin{pmatrix}-9\\ 3\\ 6 \end{pmatrix}\)

Aufgabe 20

Berechnen Sie die Volumenmaßzahl der Pyramide \(ABCS\) und den Winkel, den die Kante \(\overline{AS}\) mit der Grundfläche \(ABC\) bildet.

  1. \(A(2;3;1)\) ; \(B(1;-1;2)\) ; \(C(4;-2;5)\) ; \(S(5;9;-2)\)

  2. \(A(4;3;5)\) ; \(B(8;8;25)\) ; \(C(9;-17;9)\) ; \(S(3;-1;1)\)

Aufgabe 21

Gegeben sind die Punkte \(A(1;0;3)\) ; \(B(1;6;2)\) ; \(C(4;4;3)\) ; \(S(4;4+s;3+s)\) ; \(s\in \mathbb{R}\). Für welche Zahl hat die Volumenmaßzahl der Pyramide \(ABCS\) den Wert \(7\)?

Aufgabe 22

Gegeben sind die Punkte \(A(10;10;10)\) ; \(B(60;0;10)\) ; \(C(70;30;10)\) ; \(D(20;40;10)\) ; \(S(50;20;40)\). Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein Parallelogramm bilden. Berechnen Sie die Volumenmaßzahl der Pyramide.

Aufgabe 23

Im kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(O\left( 0;0;0\right)\), \(A\left( 3;-2;1\right)\), \(B\left( -3;-5;7\right)\) und \(S\left( 2;-\frac{11}{3};\frac{20}{3}\right)\) gegeben. \(S\) ist der Schwerpunkt des Dreiecks \(ABC\).

  1. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(C\) des Dreiecks \(ABC\).

  2. Berechnen Sie den Innenwinkel \(\alpha =\measuredangle BAC\) des Dreiecks \(ABC\) und ermitteln Sie einen winkelhalbierenden Vektor des Winkels \(\alpha\).

  3. Für die Ortsvektoren \(\overrightarrow{OL}_{\lambda }=\vec{l}_{\lambda }\) der Punkte \(L_{\lambda }\) gilt: \(\vec{l}_{\lambda }=\overrightarrow{OA}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}\) mit \(\lambda \in \mathbb{R}\). Beschreiben Sie die besondere Lage der Punkte \(L_{\lambda }\).

  4. Bestimmen Sie den Wert von \(\lambda\) und damit die Koordinaten des zugehörigen Punktes \(L_{\lambda }\) so, dass dieser Punkt \(L_{\lambda }\), der kurz mit \(L\) bezeichnet wird, Lotfußpunkt der Höhe \(h_{C}\) des Dreiecks \(ABC\) ist.

  5. Ermitteln Sie die Maßzahl \(F\) des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

  6. Der Punkt \(C^{\ast }\) ist der Spiegelpunkt des Punktes \(C\) bezüglich \(L\). Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(C^{\ast}\).

Aufgabe 24

In einem kartesischen Koordinatensystem sind \(A\left( 4;7;-4\right)\), \(B\left( 1;12;-1\right)\), \(C\left( -2;9;-4\right)\) und \(D\left(1;4;-7\right)\) die Eckpunkte des Parallelogramms \(ABCD\). Die Spitze \(S\) der Pyramide \(ABCDS\) liegt auf der \(x_{2}\)-Achse.

  1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms \(ABCD\).

  2. Bestimmen Sie diejenigen Punkte \(S_{1}\) und \(S_{2}\) der \(x_{2}\)-Achse, für welche die Volumenzahl der Pyramide \(ABCDS_{1}\) bzw. \(ABCDS_{2}\) den Wert \(52\) hat.

  3. Der Punkt \(S\left( 0;5;0\right)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABDCS\). Berechnen Sie den Neigungswinkel \(\varphi\) der Kante \(\overline{AS}\) gegen die Ebene des Parallelogramms \(ABCD\).

  4. Weisen Sie nach, dass \(H\left( 1;8;-4\right)\) der Fußpunkt der Pyramidenhöhe \(h\) ist.

  5. Spiegelt man den Punkt \(S\left( 0;5;0\right)\) an der Ebene, in der das Parallelogramm \(ABCD\) liegt, so erhält man den Punkt \(S^{\ast }\). Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes \(S^{\ast }\).

Aufgabe 25

In einem kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(A(2;1;2)\), \(B(2;-1;1)\), \(C(1;-1;2)\) und \(S_{a}(6;-2;a)\) mit \(a\in\mathbb{R}\) gegeben.

  1. Berechnen Sie die Flächenzahl \(F\) des Dreiecks \(ABC\).

  2. \(V_{a}\) ist die Volumenzahl der Pyramide \(ABCS_{a}\). Bestimmen Sie die Werte von \(a\), für die \(V_{a}\) den Wert \(\frac{3}{2}\) hat.

  3. Für \(a=1\) erhält man die Pyramide \(ABCS_{1}\) mit dem Dreieck \(ABC\) als Grundfläche und dem Punkt \(S_{1}(6;-2;1)\) als Spitze. Berechnen Sie den Neigungswinkel \(\alpha\), den die Kante \(\overline{AS}\) mit der Ebene des Dreiecks \(ABC\) einschließt.

  4. Berechnen Sie Längenzahl \(h\) der Höhe der Pyramide \(ABCS_{1}\).

  5. Der Punkt \(Q\) ist der Fußpunkt des Lotes von \(S_{1}\) auf die Ebene des Dreiecks \(ABC\). Berechnen Sie die Koordinaten des Fußpunktes \(Q\).