Aufgaben

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Aufgabe 1

Bestimmen Sie aus folgenden Angaben jeweils eine Gleichung der geforderten Gerade und führen Sie, falls verlangt, zusätzliche Berechnungen durch.

  1. Die Gerade \(g\) ist bestimmt durch den Aufpunkt \(A(2;0;-1)\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u}_{g}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}\).

  2. Die Gerade \(h\) ist bestimmt durch den Aufpunkt \(B(0;4;9)\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u}_{h}=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}\).

  3. Betrachtet wird die Gerade \(k:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}+\tau\begin{pmatrix}6\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\tau\in\mathbb{R}\). Welche der Punkte \(C(-10;10;-5)\), \(D(20;-15;-5)\), \(E(-16;0;4)\) oder \(F(-1;2.5;-2)\) liegen auf \(k\)?

  4. Die Punkte \(P_{p}(2p;-4p;p+7)\), \(Q_{q}(9+q;0;3-6q)\) und \(R_{r}(3+2r;4-r;6)\) mit \(p,q,r\in\mathbb{R}\) liegen jeweils auf einer Geraden. Bestimmen Sie jeweils eine Parametergleichung der drei Geraden.

  5. Gegeben sind die Punkte \(A(1;0;-1)\), \(B(-4;10;-11)\), \(C(4;6;-3)\), die das Dreieck \(ABC\) bestimmen. Bestimmen Sie die Parametergleichungen der Seitenhalbierenden des gegebenen Dreiecks.

Aufgabe 2

Wir betrachten allgemein die lineare Funktion mit dem Term \(g(x)=mx+t\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Der Graph von \(g\) ist die Gerade \(G_{g}\) , die wir auch kurz mit \(g\) bezeichnen. Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Geraden \(g\). Welche Parametergleichung hat eine Gerade \(h\), die parallel zur Ordinate verläuft?

Aufgabe 3

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage folgender Geraden. Falls sich die Geraden schneiden, bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Geraden. Falls die Geraden echt parallel sind, ermitteln Sie den Abstand der Geraden.

  1. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}6\\ -4\\ -1 \end{pmatrix}\)
    \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ 0.5 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

  2. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 7 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\)
    \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 8 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

  3. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\ -6\\ 2 \end{pmatrix}\)
    \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

  4. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 3 \end{pmatrix}\)
    \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

  5. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\)
    \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\ -2\\ 5 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

  6. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\ 4\\ -14 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-3\\ 9\\ -6 \end{pmatrix}\)
    \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ -11\\ 23 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

  7. \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}\)
    \(h:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

Aufgabe 4

Die Punkte \(A(1;2;-2)\), \(B(-4;1;-1)\), \(C(2;4;5)\) und der Ursprung des Koordinatensystems sind die Eckpunkte eines Tetraeders. Verbindet man jeweils einen Eckpunkt mit den Schwerpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks, so entstehen vier Geraden. Zeigen Sie, dass sich alle vier Geraden in genau einem Punkt \(S\) schneiden.