Aufgaben¶

Aufgabe 1¶

Bestimmen Sie aus folgenden Angaben jeweils eine Gleichung der geforderten Gerade und führen Sie, falls verlangt, zusätzliche Berechnungen durch.

Die Gerade \(g\) ist bestimmt durch den Aufpunkt \(A(2;0;-1)\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u}_{g}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}\).
Die Gerade \(h\) ist bestimmt durch den Aufpunkt \(B(0;4;9)\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u}_{h}=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}\).
Betrachtet wird die Gerade \(k:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}+\tau\begin{pmatrix}6\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\tau\in\mathbb{R}\). Welche der Punkte \(C(-10;10;-5)\), \(D(20;-15;-5)\), \(E(-16;0;4)\) oder \(F(-1;2.5;-2)\) liegen auf \(k\)?
Die Punkte \(P_{p}(2p;-4p;p+7)\), \(Q_{q}(9+q;0;3-6q)\) und \(R_{r}(3+2r;4-r;6)\) mit \(p,q,r\in\mathbb{R}\) liegen jeweils auf einer Geraden. Bestimmen Sie jeweils eine Parametergleichung der drei Geraden.
Gegeben sind die Punkte \(A(1;0;-1)\), \(B(-4;10;-11)\), \(C(4;6;-3)\), die das Dreieck \(ABC\) bestimmen. Bestimmen Sie die Parametergleichungen der Seitenhalbierenden des gegebenen Dreiecks.

Aufgabe 2¶

Wir betrachten allgemein die lineare Funktion mit dem Term \(g(x)=mx+t\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Der Graph von \(g\) ist die Gerade \(G_{g}\) , die wir auch kurz mit \(g\) bezeichnen. Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Geraden \(g\). Welche Parametergleichung hat eine Gerade \(h\), die parallel zur Ordinate verläuft?

Aufgabe 3¶

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage folgender Geraden. Falls sich die Geraden schneiden, bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Geraden. Falls die Geraden echt parallel sind, ermitteln Sie den Abstand der Geraden.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}6\\ -4\\ -1 \end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ 0.5 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 7 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 8 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\ -6\\ 2 \end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 3 \end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\ -2\\ 5 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\ 4\\ -14 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-3\\ 9\\ -6 \end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ -11\\ 23 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}\)
\(h:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\) ; \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)

Aufgabe 4¶

Die Punkte \(A(1;2;-2)\), \(B(-4;1;-1)\), \(C(2;4;5)\) und der Ursprung des Koordinatensystems sind die Eckpunkte eines Tetraeders. Verbindet man jeweils einen Eckpunkt mit den Schwerpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks, so entstehen vier Geraden. Zeigen Sie, dass sich alle vier Geraden in genau einem Punkt \(S\) schneiden.

Aufgabe 5¶

Folgende drei Punkte legen die Lage einer Ebene fest. Bestimmen Sie eine Parameter-, Normalen- und Koordinatenform der Ebene.

\(A(1;-2;5)\) ; \(B(-4;1;2)\) ; \(C(3;3;7)\) ; \(A,B,C \in E\)
\(J(1;-1;7)\) ; \(K(-5;8;0)\) ; \(L(2;-3;6)\) ; \(J,K,L\in F\)
\(M(-2;0;3)\) ; \(N(4;1;1)\) ; \(Q(5;2;-7)\) ; \(M,N,Q\in H\)

Aufgabe 6¶

Ermitteln Sie eine Gleichung der gegebenen Ebene oder Geraden mit besonderer Lage im Koordinatensystem.

Parametergleichungen der Koordinatenachsen
Parametergleichung der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene
Normalen- und Koordinatenform der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene
\(g_{1}\) ist echt parallel zur \(x_{3}\)-Achse und \(A(4;5;-3)\in g_{1}\)
\(g_{2}\) ist echt parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene und \(B(4;1;9)\in g_{2}\)
\(E_{1}\) (Koordinatenform) enthält die \(x_{2}\)-Achse und \(C(1;-1;7)\)
\(E_{2}\) (Koordinatenform) enthält \(D(8;-5;4)\) und ist echt parallel zur \(x_{2}x_{3}\)-Ebene
\(E_{3}\) (Koordinatenform) enthält \(Q(1;2;6)\) und \(P(-2;1;-3)\) und ist parallel zur \(x_{1}\)-Achse
Die Gerade \(g_{3}\) ist parallel zur \(x_{2}x_{3}\)-Ebene und zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene und \(E(4;3;-2)\in g_{3}\)
\(E_{4}\) (Koordinatenform) enthält \(F(3;-1;-2)\) und ist parallel zu \(g_{4}:\vec{x}=\sigma\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\) und zur \(x_{3}\)-Achse

Aufgabe 7¶

Beschreiben Sie die Lage folgender Geraden und Ebenen im Koordinatensystem.

\(g_{1}:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}+\zeta\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\)
\(g_{2}:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 7 \end{pmatrix}\)
\(g_{3}:\vec{x}=\delta\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\)
\(g_{4}:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}+\nu\begin{pmatrix}0\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}\)
\(E_{1}:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -3 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\)
\(E_{2}:\vec{x}=\eta\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 0 \end{pmatrix}\)
\(E_{3}:2x_{1}+5x_{3}-1=0\)
\(E_{4}:4x_{1}+x_{2}-7x_{3}=0\)
\(E_{5}:-2x_{2}+7x_{3}=0\)
\(E_{6}:5x_{1}+11x_{2}-7=0\)

Aufgabe 8¶

Untersuchen Sie die Lage der Geraden \(g\) zur Ebene \(E\). Bestimmen Sie gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel oder Abstand der Geraden von der Ebene.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\)

\(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 5 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+\xi\begin{pmatrix}4\\ 0\\ -3 \end{pmatrix}\)

\(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}+\tau\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}+\zeta\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4 \end{pmatrix}\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\ 1\\ -3 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}\)

\(E:-x_{1}+x_{2}-x_{3}-4=0\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 8\\ 2 \end{pmatrix}+\varrho\begin{pmatrix}7\\ 5\\ -1 \end{pmatrix}\)

\(E:2x_{1}-2x_{2}+4x_{3}+10=0\)
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 1\\ -7 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\ 6\\ 5 \end{pmatrix}\)

\(E:2x_{1}-3x_{2}-x_{3}-2=0\)

Aufgabe 9¶

Bestimmen Sie die Spurpunkte und die Spurgeraden folgender Ebenen.

\(E:3x_{1}-4x_{2}+x_{3}+8=0\)
\(F:-4x_{2}+x_{3}+8=0\)
\(H:3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=0\)
\(K:-4x_{2}+x_{3}=0\)
\(L:-4x_{2}+8=0\)

Aufgabe 10¶

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage folgender Ebenen. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittwinkel und eine Gleichung der Schnittgeraden.

\(E:6x_{1}+5x_{2}-3x_{3}-5=0\)

\(F:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\)
\(E:x_{2}-7x_{3}+1=0\)

\(F:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\ 6\\ 2 \end{pmatrix}+\tau\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\zeta\begin{pmatrix}-3\\ 7\\ 1 \end{pmatrix}\)
\(E:x_{1}-4x_{2}+2x_{3}-6=0\)

\(F:-2x_{1}-7x_{2}+x_{3}+2=0\)
\(E:3x_{1}-x_{2}+2x_{3}-1=0\)

\(F:-6x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+3=0\)
\(E:2x_{1}-5x_{3}+4=0\)

\(F:3x_{2}+7x_{3}-3=0\)

Aufgbe 11¶

Im \(\mathbb{R}^{3}\) bestimmen die Punkte \(M\), \(N\) und \(P\) ein Dreieck. Es gilt: \(\overrightarrow{MN}=\vec{a}\) und \(\overrightarrow{MP}=\vec{b}\). Der Punkt \(Q\) liegt auf der Strecke \(\overline{NP}\).

Bestimmen Sie \(\overrightarrow{MQ}\) als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).
Welche Eigenschaft haben alle Punkte, die im Inneren der Dreiecksfläche liegen?

Aufgabe 12¶

Im kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(A(8;5;6)\), \(B(4;1;-1)\), \(P_{a}(2;a;-1)\) und \(Q_{b}(-2b;b;b+1)\) mit \(a,b\in\mathbb{R}\) und die Geraden

\(h_{1}:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\) und

\(h_{2}:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) gegeben. Die Geraden \(h_{1}\) und \(h_{2}\) legen die Ebene \(E\) fest. (AP 2016, 12 T, B I)

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.
Die Ebene \(E:4x_{1}+4x_{2}+7x_{3}-13=0\) schneidet die \(x_{1}x_{3}\)-Ebene in der Geraden \(s\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(s\).
Die Gerade \(g\) geht durch den Punkt \(A\) und schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(P_{a}\) . Ermitteln Sie eine Gleichung von \(g\) .
Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(A\) von der Ebene \(E\) sowie die Koordinaten des Spiegelpunktes \(A^{*}\), der durch Spiegelung des Punktes \(A\) an der Ebene \(E\) entsteht.
Prüfen Sie, ob es einen Wert für den Parameter \(b\) so gibt, dass die Vektoren \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BQ}_{b}\) orthogonal sind.
Berechnen Sie die Volumenzahl \(V\) der Pyramide \(ABQ_{2}P_{3}\) .
Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar

\(f_{c}:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 5\\ 4 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}c-1.5\\ c^{2}\\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(c,k\in\mathbb{R}\). Untersuchen Sie, für welche Werte von \(c\) sich die Gerade \(g\) aus Aufgabe (c) mit einer der Geraden \(f_{c}\) schneidet.

Aufgabe 13¶

Im \(\mathbb{R}^{3}\) sind die drei linear unabhängigen Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) gegeben. (AP 2018, T 12, B I)

Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden fünf Aussagen stets richtig, möglich oder immer falsch sind.
- \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|>0\)
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
- \(\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right|=\left|\left(\vec{a}\times\vec{c}\right)\cdot\vec{b}\right|\)
- Es existiert eine Ebene, in der alle drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) liegen.
- Es gibt einen Vektor im \(\mathbb{R}^{3}\) , der sich nicht als Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) darstellen lässt.
Ein Speichenreflektor für ein Fahrrad beruht auf dem Prinzip eines Tripelspiegels. Dieser reflektiert einfallende Strahlung unabhängig von seiner Ausrichtung weitgehend zurück zur Strahlungsquelle. Erreicht wird dieser Effekt durch drei ebene Spiegel, die aufeinander senkrecht stehen. Die drei Koordinatenebenen des \(\mathbb{R}^{3}\) bilden zusammen einen derartigen Tripelspiegel. Ein vom Punkt \(A(7;12;2)\) in Richtung \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\) ausgehender Lichtstrahl trifft im Punkt \(S\) auf die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Geben Sie eine Gleichung für die Gerade \(g\) an, auf welcher der Lichtstrahl verläuft. Zeigen Sie, dass gilt: \(S(5;8;0)\).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden \(h\), auf der, der an der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene reflektierte Strahl verläuft.
Zeigen Sie rechnerisch, dass bei der Reflexion des Lichtstrahls an der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist.
Berechnen Sie den Abstand von \(h\) zur Ecke des Tripelspiegels, das sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet.

Aufgabe 14¶

Ein Hotel wurde in Form einer vierseitigen Pyramide mit gleich großen gläsernen Seitenflächen gebaut. In einem kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) stellen die Punkte \(A(2;1;3)\), \(B(2;31;3)\), \(C(-28;31;3)\) und \(D(-28;1;3)\) die Eckpunkte der Grundfläche und der Punkt \(S(-13;16;30)\) die Spitze der Pyramide dar. In der Nähe des Hotels befindet sich ein Kanal, dessen Uferlinie in einem bestimmten Bereich geradlinig verläuft und modellhaft durch die Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}27\\ -24\\ 3 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(k\in\mathbb{R}\) beschrieben werden kann. Alle Koordinaten sind in der Einheit Meter angegeben. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. (AP 2018, T 12 , B II)

Zeigen Sie, dass die Grundfläche \(ABCD\) des Hotels quadratisch ist.
Die Kante \(\overline{AB}\) des Hotels liegt auf der Geraden \(s\). Stellen Sie eine Gleichung der Geraden \(s\) auf und zeigen Sie, dass \(s\) echt parallel zur Geraden \(g\) verläuft.
Die Grundfläche \(ABCD\) der Pyramide und die Gerade \(g\) liegen in der Ebene \(E\). Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene \(E\) in Parameter- sowie in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem.
Eine Reinigungsfirma wird mit der fachgerechten Reinigung der gläsernen Seitenflächen des Hotels beauftragt. Berechnen Sie die Mantelfläche der Pyramide und ermitteln Sie die Kosten der Reinigung auf Euro gerundet, wenn für \(1\,\mathrm{m^{2}}\) gereinigte Fläche \(5\) € veranschlagt werden.
Ein Fassadenkletterer befindet sich auf der Kante \(\overline{BS}\) der Pyramide. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Kante \(\overline{BS}\) zur Grundfläche \(ABCD\). Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Für Werbezwecke soll von der Spitze \(S\) des Hotels auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals eine Lichterkette gespannt werden. Berechnen Sie die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.
Ein Kanal-Passagierschiff passiert nachts das Hotel. Vom Punkt \(Q(27;-3;3)\) wird vom Schiff aus ein Lichtstrahl in Richtung des Vektors \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-30\\ 19\\ 9 \end{pmatrix}\) gesendet. Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl die gläserne Seitenfläche \(ABS\) des Hotels trifft.

Aufgabe 15¶

Im \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(A(1;3;-2)\), \(B_{k}(k;0;1)\) mit \(k\in\mathbb{R}\) und \(C(-1;6;0)\) sowie die Ebene \(E:5x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=4\) gegeben. (AP 2014, 12 T, B II)

Die Ebene \(E\) schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten \(X\), \(Y\) und \(Z\). Bestimmen Sie die Volumenzahl der Pyramide \(OXYZ\).
Bestimmen Sie den Wert für \(k\) so, dass die Vektoren \(\overrightarrow{AB}_{k}\) und \(\overrightarrow{AC}\) orthogonal zueinander sind.
Berechnen Sie denjenigen Wert von \(k\) so, dass die Flächenzahl \(F(k)\) des Dreiecks \(AB_{k}C\) minimal wird.
Die Ebene \(H_{k}\) enthält das Dreieck \(AB_{k}C\) und wird beschrieben durch die Gleichung \(H_{k}:-15x_{1}-\left(2k+4\right)x_{2}+\left(3k-9\right)x_{3}=-12k-9\). Untersuchen Sie, für welche Werte von \(k\) sich die Ebene \(E\) und \(H_{k}\) in einer gemeinsamen Geraden schneiden.
Berechnen Sie für \(k=3\) eine Gleichung der Schnittgeraden von \(E\) und \(H_{3}\) sowie den Schnittwinkel zwischen \(E\) und \(H_{3}\) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
Bestimmen Sie den Wert für \(k\) so, dass \(H_{k}\) den Ursprung enthält. Untersuchen Sie anschließend, ob in diesem Fall der Ursprung \(O\) im Inneren des Dreiecks \(AB_{k}C\) liegt.