Aufgaben¶

Aufgabe 1¶

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen.

\(e^{x}=12\)
\(e^{2x-5}=25\)
\(e^{3-4x}=5^{x}\)
\(e^{2x+1}\cdot4^{3x}=6^{5x-1}\)
\(\dfrac{4^{2x-1}}{7^{x-4}}=3^{-2x+1}\)
\(\dfrac{3^{2x}}{5^{x+1}}=\dfrac{2^{x+8}}{7^{4x}}\)
\(7^{2x}-13\cdot7^{x}+40=0\)
\(3\cdot5^{x}+4\cdot2^{x}=5\cdot5^{x}-2\cdot2^{x}\)

Aufgabe 2¶

Skizzieren Sie die Graphen von: \(f(x)=e^{x}\) ; \(f_{1}(x)=e^{-x}\) ; \(f_{2}(x)=1-e^{x}\) ;

\(f_{3}(x)=\frac{2}{3}e^{x}\) ; \(f_{4}(x)=-\frac{6}{5}e^{-x+2}\) ; \(f_{5}(x)=\frac{4}{5}e^{x+1}\).

Aufgabe 3¶

Gegeben ist \(f(x)=e^{2x}-2e^{x}\) ; \(x\in\mathbb{R}\).

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\).
Untersuchen Sie \(G_{f}\) auf Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse.
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\).
Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von \(G_{f}\).
\(G_{k}\) ist der Graph der Funktion \(k\). \(G_{k}\) entsteht aus \(G_{f}\) durch: Spiegelung von \(G_{f}\) an der \(x\)-Achse, Verschiebung von \(G_{f}\) um zwei Längeneinheiten nach oben entlang der \(y\)-Achse und Verschiebung von \(G_{f}\) entlang der \(x\)-Achse um drei Längeneinheiten nach links. Ermitteln Sie den Term \(k(x)\) und berechnen Sie seine Nullstelle.
Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{k}\).
Berechnen Sie die Flächenzahl der Fläche, die von \(G_{f}\) und den Koordinatenachsen begrenzt wird.
Berechnen Sie das Maß der unendlich ausgedehnten Fläche, die von \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse im 3. und 4. Quadranten begrenzt wird.

Aufgabe 4¶

Berechnen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen.

\(f(x)=e^{3x+4}-2\)
\(f(x)=2xe^{3x}\)
\(f(x)=(x^{2}+1)\cdot e^{2x}\)
\(f(x)=(2x+3)^{2}e^{-4x^{2}+2x}\)
\(f(x)=4^{x}\)
\(f(x)=5^{2x^{2}+3x-7}\)

Aufgabe 5¶

Berechnen Sie das unbestimmte Integral folgender Funktionen.

\(f(x)=e^{2x}\)
\(f(x)=x^{2}+\frac{3}{5}x-4-\frac{1}{3}e^{-\frac{2}{3}x+6}\)
\(f(x)=e^{2x}+e^{-3x+1}+e^{3}\)
\(f(x)=4^{-5x-7}\)
\(f(x)=3^{-\frac{1}{2}x+5}+e^{-\frac{1}{2}x-5}\)
\(f(x)=3^{x}+4^{-x}\)

Aufgabe 6¶

Berechnen Sie die Flächenzahl der Fläche die folgende Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen einschließen.

\(f(x)=2e^{-x}-\frac{1}{2}\)
\(f(x)=e^{\frac{1}{2}x-1}-3\)

Aufgabe 7¶

Gegeben ist die Funktion mit dem Term \(f(x)=2e^{-x}\cdot(2e^{-x}-1)\) mit \(x\in\mathbb{R}\).

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\).
Bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes von \(G_{f}\) und begründen Sie, dass ein absoluter Extrempunkt vorliegt.
Ermitteln Sie diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) so, dass \(G_{F}\) durch den Punkt \(Q(\ln2;\frac{1}{2})\) verläuft.
Begründen Sie, dass \(F(x)\) keine größeren Werte als \(\frac{1}{2}\) annehmen kann und bei \(x=\ln4\) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie zusätzlich die \(y\)-Koordinate des Wendepunktes von \(G_{F}\).
Skizzieren Sie \(G_{f}\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.
Die Gerade \(G_{g}\) mit der Gleichung \(g:y=\frac{5}{16}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(V\). Außerdem begrenzen die Graphen \(G_{f}\), \(G_{g}\) und die Koordinatenachsen eine endliche Fläche. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche.

Aufgabe 8¶

Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb207. Der zeitliche Verlauf des Bi211-Anteils, des Tl207-Anteils und des Pb207-Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(B\), \(F\) bzw. \(P\) beschreiben. Es gilt:

\(B(x)=e^{-2x}\),

\(F(x)=2(-e^{-2x}+e^{-x})\) und

\(P(x)=1-B(x)-F(x)\).

Für jede der drei Funktionen bezeichnet \(x\geq0\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit \(6\,\mathrm{min}\). Beispielsweise bedeutet \(P(1)\approx0.400\), dass sechs Minuten nach Beginn der Beobachtung etwa \(40\,\%\) aller Kerne im Gefäß Pb207-Kerne sind.

Bestimmen Sie jeweils in Prozent die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 7 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl207-Kernen im Gefäß am größten ist.
Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind.
Bestimmen Sie \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}P(x)\) und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen \(B\), \(F\) und \(P\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.
Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, bei dem die Zunahme der Konzentration von Pb207 am größten ist. Wie groß ist die Konzentration von Pb207 zu diesem Zeitpunkt im Präparat?
Die Graphen \(G_{B}\), \(G_{F}\) und \(G_{P}\) schließen ein endliches Flächenstück ein, auf der, der Ursprung nicht liegt. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche.

Aufgabe 9¶

Gegeben ist die reelle Funktion mit dem Term \(j(x)=\dfrac{8e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\) mit \(x\in\mathbb{R}\).

Untersuchen Sie das Verhalten von \(j(x)\) für \(x\rightarrow\pm\infty\).
Weisen Sie nach, dass \(G_{j}\) symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft.
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(j\) und bestimmen Sie damit die Art und die Koordinaten des Extrempunktes von \(G_{j}\). Folgern Sie die Wertemenge \(W_{j}\) der Funktion \(j\).
Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von \(G_{j}\) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
Skizzieren Sie \(G_{j}\) in ein kartesisches Koordinatensystem.
Zeigen Sie durch clevere Integration, dass die Funktion \(J(x)=\dfrac{-8}{1+e^{x}}\) mit \(x\in\mathbb{R}\) eine Stammfunktion von \(j\) ist.
Die beiden Koordinatenachsen, \(G_{j}\) und die senkrechte Gerade mit der Gleichung \(x=t\) mit \(t\in\mathbb{R}^{+}\) schließen ein endliches Flächenstück \(A\) ein. Der Graph \(G_{k}\) der Funktion \(k(x)=2e^{-x}\) teilt das Flächenstück \(A\) in die Teilflächen \(A_{o}\) und \(A_{u}\). Zeichnen Sie \(G_{k}\) und die Gerade mit der Gleichung \(x=2\) in die Skizze von Aufgabe (e) ein.
Berechnen Sie die Flächenzahlen der Flächen \(A_{o}\) und \(A_{u}\) in Abhängigkeit von \(t\).
Zeigen Sie, dass \(\left[A_{o}\right]=\left[A_{u}\right]\) nur für \(t\rightarrow\infty\) gilt.