Bernoulli-Ketten
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   bernoulli_aufgaben.rst


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    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A"> 
    
    
Es gibt zahlreiche Zufallsexperimente, bei denen der Ergebnisraum aus nur zwei sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen besteht. 

Beispiele dafür sind :

- Warenkontrolle (brauchbares Stück / unbrauchbares Stück),
- Losziehen (Gewinn / kein Gewinn),
- Urnenmodell ( weiße Kugel / keine weiße Kugel), oder
- Zielschießen (Treffer / kein Treffer).

Das Baumdiagramm eines solchen einstufigen Experiments besteht aus zwei Pfaden. Beim Beispiel Zielschießen sieht das Baumdiagramm wie folgt aus:

.. tikz::
   :align: left
   :xscale: 25
           
   [level distance=10mm,
   every node/.style={fill=red!60,circle,inner sep=2pt},
   level 1/.style={sibling distance=15mm,nodes={fill=red!45}}]
   \node {$\small{\text{Ziel}}$}
     [grow=right]
     child {node {$\overline{T}$}}
     child {node {$T$}};

Das Ergebnis :math:`T` steht für *Treffer* und das Ergebnis :math:`\overline{T}` steht für *kein Treffer* oder *Niete*. Die Ergebnisse :math:`T` und :math:`\overline{T}` schließen sich aus. Für ihre Wahrscheinlichkeiten gilt:

:math:`P(T)+P(\overline{T})=1`, oder

:math:`P(T)=p` ; :math:`P(\overline{T})=q` ; :math:`p+q=1` oder :math:`q=1-p`.

Diesen Sachverhalt kann man kurz und prägnant so formulieren, dass man den Ergebnisraum derartiger Experimente durch die Ergebnisse  *Treffer* :math:`T` und Niete :math:`N` beschreibt. Tritt das Ergebnis *Treffer* mit der Wahrscheinlichkeit :math:`P({T})=p` ein, so ist für das Ergebnis *Niete* die Wahrscheinlichkeit :math:`P({N})=P({\overline{T}}) =1-p`.

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Beispiel
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In einer Urne befinden sich :math:`7` rote und :math:`3` graue Kugeln. Es werden zufällig nacheinander :math:`10` Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Damit liegt ein 10-stufiges Zufallsexperiment vor. Da nach jedem Zug die gezogene Kugel wieder in die Urne kommt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse nicht.
 
Betrachtet werden folgendes Ereignisse:

- :math:`A` : "Die erste, zweite und vierte gezogene Kugel ist grau alle anderen gezogenen Kugeln sind rot."
- :math:`B` : "Es wird genau dreimal eine graue Kugel gezogen."
- :math:`C` : "Es wird mindestens dreimal eine graue Kugel gezogen."
- :math:`D` : "Es wird mindestens dreimal, aber höchsten 7-mal eine graue Kugel gezogen."

Berechnen Sie :math:`P(A)`, :math:`P(B)`, :math:`P(C)` und :math:`P(D)`.

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Die Wahrscheinlichkeit eine graue Kugel zu ziehen ist :math:`p=0.3` und die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen ist :math:`q=0.7`. Mit diesen Werten berechnen wir nun :math:`P(A)`.

:math:`P(A)=0.3\cdot 0.3\cdot 0.7\cdot 0.3\cdot 0.7\cdot 0.7\cdot 0.7\cdot 0.7\cdot 0.7\cdot 0.7`

:math:`P(A)=0.3^3\cdot 0.7^7`

:math:`P(A)\approx 0.002224`

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Ein Zufallsexperiment heißt **Bernoulli-Experiment**, wenn sich sein Ergebnisraum :math:`\Omega` in der Form :math:`\Omega =\{T,N\}` darstellen lässt. Dabei gilt: :math:`P({T}) =p`, :math:`P({N})=P({\overline{T}})=q` und :math:`p+q=1`.

Wird ein Benoulli-Experiment :math:`n` mal durchgeführt, so entsteht ein :math:`n`-stufiges Benoulli-Experiment. Ein :math:`n`-stufiges Experiment dieser Art heißt **Bernoulli-Kette** der Länge :math:`n`.

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Bei einem Bernoulli-Experiment sei :math:`p\in ]0;1[` die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. Dann erzielt man bei Durchführung einer Bernoulli-Kette der Länge :math:`n` genau :math:`x` Treffer (:math:`x\leq n`) mit der Wahrscheinlichkeit

.. math::

   \begin{equation*}
   B(n;p;x)=\dbinom{n}{x}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}\text{ .}
   \end{equation*}

Der Term :math:`\dbinom{n}{x}` ist dabei der Binomialkoeffizient und hier gilt:

.. math::

   \dbinom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\cdot (n-x)!}\text{ .}

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Mit der obigen Formel berechnen wir nun die restlichen Wahrscheinlichkeiten. Dabei kommt sowohl der Taschenrechner, als auch das *Tafelwerk* zum Einsatz.

Betrachten wir noch einmal die Ereignisse :math:`B`, :math:`C` und :math:`D`.

:math:`B` : "Es wird genau dreimal eine graue Kugel gezogen."

Es gilt: :math:`n=10`, :math:`x=3`, :math:`p=0.3` und :math:`q=1-0.3=0.7`.

:math:`P(B)=B(10;0.3;3)=\dbinom{10}{3}\cdot 0.3^3\cdot 0.7^7`

TR ergibt: :math:`P(B)\approx 0.266828`

Aus dem Tafelwerk (TW) entnehmen wir von Seite 15: :math:`P(B)=0.26683`

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:math:`C` : "Es wird mindestens dreimal eine graue Kugel gezogen."

Das Experiment wird vollständig durchgeführt, also zieht man 10-mal. Es kommen alle Experimente dieser Art in Frage, bei denen insgesamt mindestens dreimal eine graue Kugel gezogen worden ist. Damit ergibt sich für :math:`P(C)`:

:math:`P(C)=B(10;0.3;3)+B(10;0.3;4)+\ldots +B(10;0.3;10)`

Dafür wählen wir eine andere Schreibweise:

:math:`P(C)=\overset{10}{\underset{i=3}{\sum}}B(10;0.3;i)`.

Diese Wahrscheinlichkeit berechnen wir mit dem Tafelwerk, aber vorher formen wir die Summe so um, dass der Zähler :math:`i` nicht bei :math:`3`, sondern bei :math:`0` das Zählen anfängt. Das geht hier wir folgt:

:math:`P(C)=\overset{10}{\underset{i=3}{\sum}}B(10;0.3;i)=\overset{10}{\underset{i=0}{\sum}}B(10;0.3;i)-\overset{2}{\underset{i=0}{\sum}}B(10;0.3;i)`

Mit dem TW, Seite 15 (rechte Spalte) erhalten wir:

:math:`P(C)=1-0.38278=0.61722`

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:math:`D` : "Es wird mindestens dreimal, aber höchstens 7-mal eine graue Kugel gezogen."

Diese Berechnung läuft ähnlich wie die Berechnung von :math:`P(C)`, nur dass wir nciht bis :math:`10`, sondern bis :math:`7` zählen.

:math:`P(D)=B(10;0.3;3)+\ldots +B(10;0.3;6)+B(10;0.3;7)`

Mit dem Summenzeichen wird der Schreibaufwand kleiner.

:math:`P(D)=\overset{7}{\underset{i=3}{\sum}}B(10;0.3;i)=\overset{7}{\underset{i=0}{\sum}}B(10;0.3;i)-\overset{2}{\underset{i=0}{\sum}}B(10;0.3;i)`

Mit dem TW, Seite 15 (rechte Spalte) erhalten wir schließlich:

:math:`P(D)=0.99841-0.38278=0.61563`