Aufgaben
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    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A"> 
    
    
Aufgabe 1
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe01>`.

Lösen Sie folgende Vektorgleichungen nach :math:`\vec{x}` auf.

a. :math:`2(3\vec{a}-3\vec{b}+\vec{x})-\frac{1}{2}(3\vec{a}-3\vec{b}-12\vec{c})+4\vec{x}=\vec{0}`
b. :math:`3(2\vec{a}-\vec{x}+3\vec{b})-\frac{1}{4}(8\vec{a}+4\vec{b}+2\vec{x})=\frac{1}{2}(-3\vec{x}-\vec{c})`
c. :math:`\frac{1}{4}(-12\vec{a}-\vec{c}+4\vec{x})-\frac{1}{2}(3\vec{b}+4\vec{c}+6\vec{x})=2\vec{x}-5\vec{a}-\vec{c}`
d. :math:`\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{x}-\frac{1}{8}(2\vec{b}-4\vec{x})=-\frac{3}{2}\vec{x}-\frac{1}{4}\vec{a}`

Aufgabe 2
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe02>`.

Zeigen Sie, dass die Seiten des Mitteldreiecks parallel und halb so lang wie die Seiten des entsprechenden Dreiecks sind.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 40
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [orange,line width=0.5mm]  (0,0) node [left] {\small $A$} -- (6,0) node [right] {\small $B$} --  (2,6) node [above] {\small $C$} -- (0,0);
     \draw [darkgray,line width=0.35mm] (1,3) node [left] {\small $P$} -- (4,3) node [right] {\small $N$} --  (3,0) node [below] {\small $M$} --(1,3);

Aufgabe 3
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe03>`.

In einem Parallelogramm :math:`ABCD` teilt der Punkt :math:`P` die Strecke :math:`\overline{AB}` von :math:`A` aus im Verhältnis :math:`1:2`. Der Punkt :math:`Q` teilt die Strecke :math:`\overline{CD}` von :math:`C` aus im Verhältnis :math:`3:2`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [brown,line width=0.5mm] (0,0) node [left] {\small $A$} -- (9,0) node [right] {\small $B$} --  (10,3) node [right] {\small $C$} -- (1,3) node [left] {\small $D$} -- (0,0);
     \draw [violet,line width=0.35mm] (3,0) node [below] {\small $P$} -- (5.4,3) node [above] {\small $Q$}; 

Drücken Sie den Vektor :math:`\overrightarrow{PQ}` durch :math:`\vec{a}=\overrightarrow{AB}` und  :math:`\vec{b}=\overrightarrow{AD}` aus.

Aufgabe 4
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe04>`.

Eine Pyramide hat die Spitze :math:`S` und das Parallelogramm :math:`ABCD` als Grundfläche. Es gilt: :math:`\overrightarrow{AB}=\vec{a}` ; :math:`\overrightarrow{AD}=\vec{b}` ; :math:`\overrightarrow{AS}=\vec{c}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [magenta,line width=0.5mm] (0,0) node [left] {\small $A$} -- (6,0) node [right] {\small $B$} -- (8,2) node [right] {\small $C$} -- (2,2) node [below] {\small $D$} -- (0,0);
     \draw[magenta,line width=0.5mm] (0,0) -- (4.5,6) node [above] {\small $S$} -- (2,2);
     \draw[magenta,line width=0.5mm] (6,0) -- (4.5,6) -- (8,2);

Drücken Sie die Vektoren :math:`\overrightarrow{BS}`, :math:`\overrightarrow{CS}`, :math:`\overrightarrow{DS}`, :math:`\overrightarrow{CA}` und :math:`\overrightarrow{DB}` durch :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` aus.

Aufgabe 5
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe05>`.

Gegeben ist die Pyramide aus Aufgabe (4). :math:`M` ist der Mittelpunkt der Grundfläche, :math:`N` der Schwerpunkt des Dreiecks :math:`BCS`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [magenta,line width=0.5mm] (0,0) node [left] {\small $A$} -- (6,0) node [right] {\small $B$} -- (8,2) node [right] {\small $C$} -- (2,2) node [below] {\small $D$} -- (0,0);
     \draw[magenta,line width=0.5mm] (0,0) -- (4.5,6) node [above] {\small $S$} -- (2,2);
     \draw[magenta,line width=0.5mm] (6,0) -- (4.5,6) -- (8,2);
     \draw[blue,line width=0.2mm] (0,0) --  (8,2);
     \draw[blue,line width=0.2mm] (2,2) --  (6,0);     
     \draw[blue,line width=0.2mm] (6,0) --  (6.25,4);
     \draw[blue,line width=0.2mm] (8,2) --  (5.25,3);
     \draw[blue,line width=0.2mm] (4.5,6) --  (7,1);
     \draw [blue] (4,1) node [above=1mm] {\small $M$};
     \draw [blue] (6.17,2.8) node [right=1mm] {\small $N$};
     \draw[blue,line width=0.2mm] (4,1) --  (6.17,2.67);

Drücken Sie :math:`\overrightarrow{MN}` durch :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` aus.

Aufgabe 6
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe06>`.

Durch die Punkte :math:`A`, :math:`B`, :math:`C` und :math:`D` wird eine dreiseitige Pyramide mit der Grundfläche :math:`ABC` und der Spitze :math:`D` festgelegt. Weiter gilt: :math:`\overrightarrow{AB}=\vec{a}`, :math:`\overrightarrow{AC}=\vec{b}` und :math:`\overrightarrow{AD}=\vec{c}`. :math:`S` ist der Schwerpunkt des Dreiecks :math:`ABC`. Der Punkt :math:`T` liegt auf der Strecke :math:`\overline{BD}` und teilt diese im Verhältnis :math:`3:2` von Punkt :math:`B` aus.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [teal,line width=0.5mm] (0,0) node [left] {\small $A$} -- (6,0) node [right] {\small $B$} --(4,2) node [right] {\small $C$} -- (0,0);
     \draw[teal,line width=0.5mm] (0,0) -- (5,5) node [above] {\small $D$} -- (6,0);
     \draw[teal,line width=0.5mm] (4,2) -- (5,5);
     \draw[orange,line width=0.2mm] (0,0) -- (5,1);
     \draw[orange,line width=0.2mm] (3,0) -- (4,2);
     \draw[orange,line width=0.2mm] (6,0) -- (2,1);
     \draw [orange,line width=0.2mm] (3.33,0.67) node [above=1mm] {\small $S$};
     \draw[orange,line width=0.2mm] (3.33,0.67) -- (5.4,3);
     \draw [orange,line width=0.2mm] (5.4,3) node [right=0.5mm] {\small $T$};

Stellen Sie den Vektor :math:`\overrightarrow{ST}` als Linearkombination der Vektoren :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` dar.

Aufgabe 7
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe07>`.

Durch die Punkte :math:`A`, :math:`B`, :math:`C`, :math:`D`, :math:`E` und :math:`F` wird ein Pyramidenstumpf mit den Dreiecken :math:`ABC` und :math:`DEF` als Grund- und Deckfläche festgelegt. Grund- und Deckfläche sind zueinander parallel. Außerdem gilt: :math:`\frac{\left|\overline{DE}\right|}{\left|\overline{AB}\right|}=\frac{\left|\overline{EF}\right|}{\left|\overline{BC}\right|}=\frac{\left|\overline{DF}\right|}{\left|\overline{AC}\right|}=\frac{3}{5}`. Der Punkt :math:`M` ist Mittelpunkt der Strecke :math:`\overline{BC}` und der Punkt :math:`S` ist Schwerpunkt des Dreiecks :math:`DEF`. Weiter gilt: :math:`\overrightarrow{AB}=\vec{a}`, :math:`\overrightarrow{AC}=\vec{b}` und :math:`\overrightarrow{AD}=\vec{c}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [olive,line width=0.5mm] (0,0) node [left] {\small $A$} -- (6,0) node [right] {\small $B$} -- (4,2) node [right] {\small $C$} -- (0,0);
     \draw [olive,line width=0.5mm] (2.5,2.5) node [left] {\small $D$} -- (5.5,2.5) node [right] {\small $E$} --(4.5,3.5) node [right] {\small $F$} -- (2.5,2.5);     
     \draw[olive,line width=0.5mm] (0,0) -- (2.5,2.5);
     \draw[olive,line width=0.5mm] (6,0) -- (5.5,2.5);
     \draw[olive,line width=0.5mm] (4,2) -- (4.5,3.5);     
     \draw[red,line width=0.2mm] (2.5,2.5) -- (5,3);
     \draw[red,line width=0.2mm] (5.5,2.5) -- (3.5,3);
     \draw[red,line width=0.2mm] (4.5,3.5) -- (4,2.5);
     \draw [red] (4.05,2.83) node [above] {\small $S$};
     \draw[red,line width=0.2mm] (4.17,2.83) -- (5,1);
     \draw [red] (5,1) node [right=1mm] {\small $M$};

Stellen Sie den Vektor :math:`\overrightarrow{MS}` als Linearkombination der Vektoren :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` dar.

Aufgabe 8
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.. :ref:`Teacher´s page <vektorielle_raeume_aufgabe08>`. 

Durch die Punkte :math:`A`, :math:`B`, :math:`C`, :math:`D`, :math:`E` und :math:`F` wird ein Prisma mit den Dreiecken :math:`ABC` und :math:`DEF` als Grund- und Deckfläche festgelegt. Der Punkt :math:`S` ist der Schwerpunkt der Deckfläche :math:`DEF` und der Punkt :math:`T` ist Mittelpunkt des Parallelogramms :math:`CBEF`. Weiter gilt: :math:`\overrightarrow{AB}=\vec{a}`, :math:`\overrightarrow{AC}=\vec{b}` und :math:`\overrightarrow{AD}=\vec{c}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [violet,line width=0.5mm] (0,0) node [left] {\small $A$} -- (6,0) node [right] {\small $B$} -- (4,2) node [right] {\small $C$} -- (0,0);
     \draw [violet,line width=0.5mm] (0,4) node [left] {\small $D$} -- (6,4) node [right] {\small $E$} --(4,6) node [right] {\small $F$} -- (0,4);     
     \draw[violet,line width=0.5mm] (0,0) -- (0,4);
     \draw[violet,line width=0.5mm] (6,0) -- (6,4);
     \draw[violet,line width=0.5mm] (4,2) -- (4,6);     
     \draw[gray,line width=0.2mm] (0,4) -- (5,5);
     \draw[gray,line width=0.2mm] (6,4) -- (2,5);
     \draw[gray,line width=0.2mm] (4,6) -- (3,4);
     \draw[gray,line width=0.2mm] (4,2) -- (6,4);
     \draw[gray,line width=0.2mm] (6,0) -- (4,6); 
     \draw[gray,line width=0.2mm] (3.33,4.67) node [above=1mm] {\small $S$} -- (5,3) node [right=1mm] {\small $T$};

Stellen Sie den Vektor :math:`\overrightarrow{ST}` als Linearkombination der Vektoren :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` dar.