Vektorielle Räume
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   vektorielle_raeume_aufgaben.rst


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    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A"> 
        
Bei der Beschreibung und Berechnung physikalischer Sachverhalte mit Hilfe von physikalischen Größen kommt es häufig nicht nur auf die Größe des Messwertes an, sondern auch auf die Richtung in der die physikalische Größe wirkt. Die Kraft, die Geschwindigkeit oder der Impuls sind solche physikalische Größen. Beim Segeln oder Windsurfen weiß man, dass nicht nur die Windstärke, sondern auch die Windrichtung eine wichtige Rolle spielen. Dabei ist in einem mehr oder weniger großen Gebiet der Wind nach Stärke und Richtung konstant. Dies kann man durch eine gemeinsame Größe und mit Hilfe eines *Vektors* ausdrücken.

Zunächst soll geklärt werden, was in der Zeichenebene, also im zweidimensionalen Raum und im geometrischen Anschauungsraum, also im dreidimensionalen Raum unter einem *Vektor* zu verstehen ist. Die Zeichenebene wird im Folgenden kurz :math:`\mathbb{R}^{2}` und der geometrische Anschauungsraum mit :math:`\mathbb{R}^{3}` bezeichnet.

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Im :math:`\mathbb{R}^{2}` oder :math:`\mathbb{R}^{3}` versteht man unter einem *Vektor* :math:`\vec{a}` die Menge aller *gerichteten Strecken* mit *gleicher Länge* und *gleicher Richtung*. Jede gerichtete Strecke aus dieser Menge heißt *Repräsentant* des Vektors.


.. _vektorbegriff:

.. tikz:: Parallelgleiche Vektoren
     :align: left
     :xscale: 40
           
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-1.5,1) -- (0,3.5) node [midway,right] {\small $\vec{a}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1.5,2.5) node [midway,right] {\small $\vec{a}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2.5,0.5) -- (4,3) node [midway,left] {\small $\vec{a}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (3.5,1) -- (5,3.5) node [midway,right] {\small $\vec{a}$};

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Ein Vektor lässt sich auch als *Translation* deuten. Eine Abbildung durch *Translation* (*Parallelverschiebung*) im :math:`\mathbb{R}^{2}` oder im :math:`\mathbb{R}^{3}`, bei der jedem Punkt :math:`P` eindeutig ein Punkt :math:`P^{\prime}` zugeordnet wird, ist eindeutig bestimmt durch die Angabe eines einzigen Verschiebungspfeils. Ist ein solcher Verschiebungspfeil :math:`\overrightarrow{PP^{\prime }}` gegeben, so wird bei dieser *Translation* jeder weitere Punkt :math:`A` so auf einen Punkt :math:`A^{\prime }` abgebildet, dass die Pfeile :math:`\overrightarrow{AA^{\prime }}` und :math:`\overrightarrow{PP^{\prime }}` zueinander *parallel*, *gleichorientiert* und *gleich lang* sind. Verschiedene Pfeile, die zueinander parallel, gleichorientiert und gleich lang sind nennen wir kurz *parallelgleich*.

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Unter dem *Nullvektor* :math:`\vec{0}` verstehen wir den Vektor, dessen Repräsentanten die Länge :math:`0` haben. Unter dem *Gegenvektor* :math:`-\vec{b}` zu einem Vektor :math:`\vec{b}` versteht man den Vektor, dessen Repräsentanten parallel zu denen von :math:`\vec{b}`, die gleiche Länge wie die von :math:`\vec{b}` haben, aber entgegengesetzt orientiert zu denen von :math:`\vec{b}` sind.

.. _gegenvektor:

.. tikz:: Gegenvektor und Nullvektor
     :align: left
     :xscale: 40
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [teal,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (4,1) node [midway,below] {\small $\vec{b}$};
     \draw [magenta,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,2.5) -- (1,1.5) node [midway,above] {\small $-\vec{b}$};
     \filldraw [brown] (5,-0.5) circle (1mm) node [right] {\small $\vec{0}$};

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Wählen wir :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}` zwei geometrische Vektoren aus dem :math:`\mathbb{R}^{2}` oder dem :math:`\mathbb{R}^{3}`, so versteht man aus der Summe :math:`\vec{a}+\overrightarrow{b}` dieser Vektoren denjenigen Vektor, dessen Repräsentant man nach folgender Vorschrift erhält: Man setzt an der Spitze eines Repräsentanten von :math:`\vec{a}` einen Repräsentanten von :math:`\vec{b}` mit dessen Fuß an. Der Pfeil vom Fuß des Repräsentanten von :math:`\vec{a}` zur Spitze des Repräsentanten von :math:`\vec{b}` ist dann ein Repräsentant von :math:`\vec{a}+\vec{b}`.

.. _vektoraddition:

.. tikz:: Addition zweier Vektoren
     :align: left
     :xscale: 40
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [gray,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (2,3.5) node [midway,left] {\small $\vec{a}$};
     \draw [orange,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2,3.5) -- (6,3.5) node [midway,above] {\small $\vec{b}$};
     \draw [red,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (6,3.5) node [midway,right=1.5mm] {\small $\vec{a}+\vec{b}$};

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Für alle Vektoren aus dem :math:`\mathbb{R}^{2}` oder dem :math:`\mathbb{R}^{3}` gelten folgende Rechengesetze:

- :math:`\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}`

.. _kommutativgesetz:

.. tikz:: Kommutativgesetz
     :align: left
     :xscale: 40
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (2,3.5) node [midway,left] {\small $\vec{a}$};
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,0.5) -- (6,3.5) node [midway,left] {\small $\vec{a}$};
     \draw [brown,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2,3.5) -- (6,3.5) node [midway,above] {\small $\vec{b}$};
     \draw [brown,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (5,0.5) node [midway,above] {\small $\vec{b}$};
     \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (6,3.5) node [midway,right=1.5mm] {\small $\vec{a}+\vec{b}$};

- :math:`( \vec{a}+\vec{b}) +\vec{c}=\vec{a}+( \vec{b}+\vec{c})`

.. _assoziativgesetz:

.. tikz:: Assoziativgesetz
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (5,0.5) node [midway,below] {\small $\vec{a}$};
     \draw [orange,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,0.5) -- (7.5,2.5) node [midway,right=1.5mm] {\small $\vec{b}$};
     \draw [pink,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (7.5,2.5) -- (5,4) node [midway,right=1.5mm] {\small $\vec{c}$};
     \draw [brown,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (7.5,2.5) node [pos=0.4,below=-0.5mm] {\small $\vec{a}+\vec{b}$};
     \draw [gray,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,0.5) -- (5,4) node [pos=0.6,right] {\small $\vec{b}+\vec{c}$};
     \draw [teal,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (5,4) node [midway,left=3mm] {\small $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$};  

- :math:`\vec{a}+( -\vec{a}) =\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}`

- :math:`\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+( -\vec{b})` (Subtraktion von Vektoren)

.. _vektorsubtraktion:

.. tikz:: Subtraktion zweier Vektoren
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (5,2) node [midway,above] {\small $\vec{a}$};
     \draw [magenta,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,2) -- (4,4) node [midway,right] {\small $\vec{b}$};
     \draw [black,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,2) -- (6,0) node [midway,right] {\small $-\vec{b}$};
     \draw [pink,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (4,4) node [midway,right] {\small $\vec{a}+\vec{b}$};
     \draw [teal,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,0.5) -- (6,0) node [midway,below] {\small $\vec{a}-\vec{b}$};     

Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl: Ist :math:`\lambda \in \mathbb{R}` ein Skalar, also eine beliebige reelle Zahl und :math:`\vec{a}` ein geometrischer Vektor aus dem :math:`\mathbb{R}^{2}` oder :math:`\mathbb{R}^{3}`, so versteht man unter dem Produkt :math:`\lambda \cdot \vec{a}` den geometrischen Vektor, dessen Repräsentanten

- parallel zu den Repräsentanten von :math:`\vec{a}` sind,

- die :math:`\left\vert \lambda \right\vert`-fache Länge wie die Repräsentanten von :math:`\vec{a}` haben und

- für :math:`\lambda >0` die gleiche Orientierung wie :math:`\vec{a}` oder

- für :math:`\lambda <0` die entgegengesetzte Orientierung wie :math:`\vec{a}` haben.

.. _smultiplikation:

.. tikz:: S-Multiplikation
     :align: left
     :xscale: 60
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2,1) -- (6,2.5) node [midway,above] {\small $\vec{a}$};
     \draw [darkgray,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,1) -- (6.67,3.5) node [midway,above=1.5mm] {\small $\lambda \cdot \vec{a}$};
     \draw [orange,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (8,2) -- (6,1.25) node [midway,below] {\small $\mu \cdot \vec{a}$};