Punkte und Ortsvektoren ----------------------- .. toctree:: :maxdepth: 1 punkte_ortsvektoren_aufgaben.rst .. |br| raw:: html
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Der dreidimensionale Raum, in dem wir uns bewegen und leben wird in der Geometrie *Anschauungsraum* genannt. Der *Anschauungsraum* besteht aus unendlich vielen Punkten. Die Menge all dieser Punkte wird mit :math:`\widetilde{P}` bezeichnet. Zwei beliebige Punkte :math:`A` und :math:`B` aus :math:`\widetilde{P}` bestimmen genau einen Vektor :math:`\vec{v}`, nämlich :math:`\vec{v}=\overrightarrow{AB}`. Der Vektor :math:`\vec{v}=\overrightarrow{AB}` ist ein Element des *dreidimensionalen Vektorraums* :math:`\mathbb{R}^{3}`. Alle Vektoren, die aus den Punkten des *Anschauungsraums* gebildet werden, sind Elemente des *dreidimensionalen Vektorraums* :math:`\mathbb{R}^{3}`. Vorerst geht es darum, die Position der Punkte im *Anschauungsraum* :math:`\widetilde{P}` in eindeutiger Weise durch Angabe von Zahlen zu kennzeichnen. |hr| Zunächst wird ein frei oder passend gewählter Punkt des *Anschauungsraums* :math:`\widetilde{P}` ausgezeichnet. Wir nennen diesen Punkt *Ursprung* :math:`O`. Zum *Ursprung* :math:`O` nimmt man eine beliebige Basis :math:`B` des :math:`\mathbb{R}^{3}` dazu. Als Basis wählt man aus praktischen Gründen die *kanonische Basis* :math:`B=\left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right\}`, die auch *Standardbasis* heißt. Für die *Standardbasis* gilt: :math:`B = \left\{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\}`. |hr| Die Vektoren :math:`\vec{e}_{1}`, :math:`\vec{e}_{2}` und :math:`\vec{e}_{3}` stehen paarweise senkrecht aufeinander und jeder Vektor hat die Länge :math:`1`. Somit legen :math:`\vec{e}_{1}`, :math:`\vec{e}_{2}` und :math:`\vec{e}_{3}` mit dem *Ursprung* :math:`O` ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem fest. |hr| Sei nun ein beliebiger Punkt :math:`X` im *Anschauungsraum* gegeben. Der Vektor, der den *Ursprung* :math:`O` mit dem Punkt :math:`X` verbindet, also :math:`\overrightarrow{OX}` heißt *Ortsvektor* des Punktes :math:`X`. .. tikz:: :align: left :xscale: 50 \usetikzlibrary {arrows.meta} \draw [red,line width=0.2mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-0.5,-0.10) -- (6.5,1.19) node [right] {\small $x_{1}$}; \draw [red,line width=0.2mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0.25,0.875) -- (-1.43,-5) node [below] {\small $x_{2}$}; \draw [red,line width=0.2mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,-0.5) -- (0,6.5) node [above] {\small $x_{3}$}; \draw[gray,line width=0.2mm] (0,0) -- (5.5,1) -- (4.5,-2.5) -- (-1,-3.5) -- (0,0); \draw[gray,line width=0.2mm] (0,5) -- (5.5,6) -- (4.5,2.5) -- (-1,1.5) -- (0,5); \draw[gray,line width=0.2mm] (0,0) -- (0,5); \draw[gray,line width=0.2mm] (5.5,1) -- (5.5,6); \draw[gray,line width=0.2mm] (4.5,-2.5) -- (4.5,2.5); \draw[gray,line width=0.2mm] (-1,-3.5) -- (-1,1.5); \draw [cyan,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (-1,-3.5) node [midway,right] {\small $x_{2}\cdot\vec{e}_{2}$}; \draw [cyan,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-1,-3.5) -- (4.5,-2.5) node [midway,below] {\small $x_{1}\cdot\vec{e}_{1}$}; \draw [cyan,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (4.5,-2.5) -- (4.5,2.5) node [midway,right] {\small $x_{3}\cdot\vec{e}_{3}$}; \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,0.19) node [midway,below] {\small $\vec{e}_{1}$}; \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (-0.286,-1) node [midway,left] {\small $\vec{e}_{2}$}; \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,1) node [midway,left] {\small $\vec{e}_{3}$}; \draw [olive,line width=0.7mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (4.5,2.5) node [midway,above=1mm] {\small $\overrightarrow{OX}$}; \fill[violet] (4.5,2.5) circle (0.15) node [right] {\small $X$}; |hr| Beispiel: Wir finden den Punkt :math:`A(5;4;3)` mit Hilfe des Ortsvektors :math:`\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}`. .. tikz:: :align: left :xscale: 50 \usetikzlibrary {arrows.meta} \draw [red,line width=0.2mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-0.5,-0.10) -- (6.5,1.19) node [right] {\small $x_{1}$}; \draw [red,line width=0.2mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0.25,0.875) -- (-1.43,-5) node [below] {\small $x_{2}$}; \draw [red,line width=0.2mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,-0.5) -- (0,6.5) node [above] {\small $x_{3}$}; \draw[gray,line width=0.2mm] (0,0) -- (5.5,1) -- (4.5,-2.5) -- (-1,-3.5) -- (0,0); \draw[gray,line width=0.2mm] (0,5) -- (5.5,6) -- (4.5,2.5) -- (-1,1.5) -- (0,5); \draw[gray,line width=0.2mm] (0,0) -- (0,5); \draw[gray,line width=0.2mm] (5.5,1) -- (5.5,6); \draw[gray,line width=0.2mm] (4.5,-2.5) -- (4.5,2.5); \draw[gray,line width=0.2mm] (-1,-3.5) -- (-1,1.5); \draw [cyan,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (-1,-3.5) node [midway,right] {\small $4\vec{e}_{2}$}; \draw [cyan,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-1,-3.5) -- (4.5,-2.5) node [midway,below] {\small $5\vec{e}_{1}$}; \draw [cyan,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (4.5,-2.5) -- (4.5,2.5) node [midway,right] {\small $3\vec{e}_{3}$}; \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,0.19) node [midway,below] {\small $\vec{e}_{1}$}; \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (-0.286,-1) node [midway,left] {\small $\vec{e}_{2}$}; \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,1) node [midway,left] {\small $\vec{e}_{3}$}; \draw [olive,line width=0.7mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (4.5,2.5) node [midway,above=1mm] {\small $\overrightarrow{OA}$}; \fill[violet] (4.5,2.5) circle (0.15) node [right] {\small $A(5;4;3)$}; Der entsprechende *Ortsvektor* des Punktes A(5;4;3) ist der Vektor :math:`\overrightarrow{OA}`. Der Vektor :math:`\overrightarrow{OA}` wird auch mit :math:`\vec{a}` bezeichnet und es gilt: :math:`\overrightarrow{OA}=\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}`. |hr| Allgemein gilt für einen beliebigen Punkt :math:`X(x_{1},x_{2},x_{3})` des *Anschauungsraums*: :math:`\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}=x_{1}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}`. Die Koordinaten des Punktes :math:`X` im *Anschauungsraum* und die Koordinaten des Ortsvektors :math:`\overrightarrow{OX}=\vec{x}` im *Vektorraum* :math:`\mathbb{R}^{3}` sind :math:`x_{1}`, :math:`x_{2}` und :math:`x_{3}`. |hr| Für zwei Vektoren :math:`\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{3}` gilt bezüglich der Addition und Subtraktion von Vektoren im :math:`\mathbb{R}^{3}`: :math:`\vec{a}\pm\vec{b}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}\pm\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\pm b_{1}\\ a_{2}\pm b_{2}\\ a_{3}\pm b_{3} \end{pmatrix}`. |hr| Zwei Vektoren :math:`\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{3}` sind genau dann gleich, falls alle Koordinaten der beiden Vektoren gleich sind: :math:`\vec{a}=\vec{b}`, falls :math:`a_{1}=b_{1}` und :math:`a_{2}=b_{2}` und :math:`a_{3}=b_{3}`. |hr| Für einen Vektor :math:`\vec{a}\in\mathbb{R}^{3}` und einem Skalar :math:`\lambda\in\mathbb{R}` gilt bezüglich der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: :math:`\lambda\cdot\vec{a}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\cdot a_{1}\\ \lambda\cdot a_{2}\\ \lambda\cdot a_{3} \end{pmatrix}`.