Produkte von Vektoren
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   :maxdepth: 1

   produkte_vektoren_aufgaben.rst


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    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A"> 
    
    
Das Skalarprodukt
.................

.. topic:: Allgemein gilt:

   Für zwei Vektoren :math:`\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\
   a_{2}\\
   a_{3}
   \end{pmatrix}` und :math:`\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\
   b_{2}\\
   b_{3}
   \end{pmatrix}` des :math:`\mathbb{R}^{3}` heißt die reelle Zahl

   :math:`\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\in\mathbb{R}`
   
   *Skalarprodukt* der Vektoren :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}`.

Für alle :math:`\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^{3}` und :math:`\lambda\in\mathbb{R}` gelten folgende Eigenschaften des Skalarprodukts:

- | :math:`\vec{a}\cdot\vec{b}\in\mathbb{R}` wird auch kurz :math:`\vec{a}\vec{b}\in\mathbb{R}` geschrieben. 
- | :math:`\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}` (Kommutativgesetz)
- | :math:`\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}` (Distributivgesetz)
- | :math:`\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\lambda\vec{a})\vec{b}=\vec{a}(\lambda\vec{b})` (Assoziativgesetz)
- | :math:`\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^{2}`
- | :math:`\vec{a}^{2}=\begin{pmatrix}a_{1}\\
     a_{2}\\
     a_{3}
     \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_{1}\\
     a_{2}\\
     a_{3}
     \end{pmatrix}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}`
- | :math:`\sqrt{\vec{a}^{2}}=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}`.
- | :math:`\sqrt{\vec{a}^{2}}` ist die *Länge* des Vektors :math:`\vec{a}`.

|hr|

Der *Betrag* oder die *Längenzahl* eines Vektors wird mit :math:`|\vec{a}|` oder einfach nur mit :math:`a` bezeichnet und es gilt: :math:`a=|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^{2}}`.

Für die *Längenzahl* :math:`|\overline{AB}|` einer Strecke :math:`\overline{AB}` gilt:

:math:`|\overline{AB}|=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|=|\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{(\vec{b}-\vec{a})^{2}}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [line width=0.5mm,color=blue] (0,0) -- (5,0) node [midway,above] {$\scriptsize{\overline{AB}}$};
     \fill[color=blue] (0,0) circle (0.1) node [left]{$A$};
     \fill[color=blue] (5,0) circle (0.1) node [right] {$B$};
     \fill[color=brown] (1,-2.5) circle (0.1) node [below] {$O$};
     \draw [line width=0.5mm,color=brown,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,-2.5) -- (0,0) node [midway,left] {$\scriptsize{\overrightarrow{OA}=\vec{a}}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=brown,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (1,-2.5) -- (5,0) node [midway,right=2mm] {$\scriptsize{\overrightarrow{OB}=\vec{b}}$};

|hr|
        
Mit Hilfe des Kosinussatzes im allgemeinen Dreieck können wir eine andere Formel für das *Skalarprodukt* herleiten.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[teal,line width=0.2mm] (1,0) arc[start angle=0, end angle=71.57, radius=1cm] node [midway,right] {$\scriptsize{\varphi}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=gray] (0,0) -- (5,0) node [midway,below] {$\scriptsize{\overline{AB}}$} -- (1,3) node [midway,right=2mm] {$\scriptsize{\overline{BC}}$} -- (0,0) node [midway,left] {$\scriptsize{\overline{AC}}$};     
     \fill[color=gray] (0,0) circle (0.1) node [left]{$A$};
     \fill[color=gray] (5,0) circle (0.1) node [right] {$B$};
     \fill[color=gray] (1,3) circle (0.1) node [left] {$C$};

Der Kosinussatz im allgemeinen Dreieck lautet:

:math:`|\overline{BC}|^{2}=|\overline{AB}|^{2}+|\overline{AC}|^{2}-2\cdot|\overline{AB}|\cdot|\overline{AC}|\cdot\cos\varphi`. 

|hr|    
          
Betrachten wir das Gleiche mit Ursprung und Vektoren, so erhalten wir eine Vektorgleichung, die wir geschickt umformen.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[teal,line width=0.2mm] (1,0) arc[start angle=0, end angle=71.57, radius=1cm] node [midway,right] {$\scriptsize{\varphi}$};
     \fill[color=blue] (5,0) circle (0.1) node [right] {$A$};
     \fill[color=blue] (1,3) circle (0.1) node [left] {$B$};
     \draw [line width=0.5mm,color=blue,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (5,0) -- (1,3) node [midway,right=2mm] {$\vec{b}-\vec{a}$};     
     \fill[color=brown] (0,0) circle (0.1) node [left]{$O$};
     \draw [line width=0.5mm,color=brown,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5,0) node [midway,below] {$\vec{a}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=brown,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,3) node [midway,left] {$\vec{b}$};
     
:math:`|\vec{b}-\vec{a}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi`

:math:`(\vec{b}-\vec{a})^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}-2\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi`

:math:`\vec{b}^{2}-2\cdot\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{a}^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}-2\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi`

:math:`-2\cdot\vec{b}\cdot\vec{a}=-2\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi`

Für das *Skalarprodukt* erhalten wir:

:math:`\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi`.

Stellen wir diese Formel nach :math:`\varphi` um, so berechnen wir damit den Winkel :math:`\varphi=\measuredangle(\vec{a};\vec{b})`, den zwei Vektoren einschließen:

:math:`\varphi=\measuredangle(\vec{a};\vec{b})=\arccos\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}\cdot|\vec{b}|}`.

.. topic:: Allgemein gilt:

   Für den Winkel :math:`\varphi=\measuredangle(\vec{a};\vec{b})`, den zwei Vektoren :math:`\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{3}` einschließen, gilt:
   
   :math:`\varphi=\measuredangle(\vec{a};\vec{b})=\arccos\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}`.
   
   * Für zwei senkrechte Vektoren gilt: :math:`\vec{a}\perp\vec{b}\Longleftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0`,
   * Zwei Vektoren schließen einen spitzen Winkel ein, falls :math:`\vec{a}\cdot\vec{b}>0`,
   * Zwei Vektoren schließen einen stumpfen Winkel ein, falls :math:`\vec{a}\cdot\vec{b}<0`.

|hr|   

Unter einem *Einheitsvektor* versteht man einen Vektor, der den Betrag :math:`1` hat. Den Einheitsvektor, der die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung wie ein gegebener geometrischer Vektor :math:`\vec{a}` mit :math:`\vec{a}\neq \vec{0}` hat, bezeichnen wir mit :math:`\vec{a}^{\circ}`. Der Vektor :math:`\vec{a}` hat die Länge :math:`a`.

Es gilt also: :math:`\vec{a}^{\circ}=\frac{1}{a}\cdot\vec{a}`. (Beachte: :math:`\frac{1}{a}\in\mathbb{R}`) 

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}     
     \draw [line width=0.5mm,color=olive,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,1) -- (2,1) node [midway,above] {$\vec{a}\,^{\circ}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=violet,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (6,0) node [midway,above] {$\vec{a}$};
     
|hr|

Die Diagonale der Raute, die durch :math:`\vec{a}^{\circ}` und :math:`\vec{b}^{\circ}` bestimmt wird, halbiert den Winkel :math:`\varphi=\measuredangle(\vec{a};\vec{b})` zwischen :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}`. Setzt man :math:`\vec{w}=\vec{a}^{\circ}+\vec{b}^{\circ}`, dann ist jeder Vektor der Form :math:`\lambda \cdot \vec{w}` mit :math:`\lambda \in\mathbb{R}^{+}` ein Vektor, der den Winkel :math:`\varphi` halbiert.

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     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[teal,line width=0.2mm] (1,0) arc[start angle=0, end angle=35.78, radius=1cm] node [midway,right] {$\scriptsize{\frac{\varphi}{2}}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (5,0)  -- (6,3) -- (1,3);
     \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (2,0)  -- (2.63,1.9) -- (0.63,1.9);     
     \draw [line width=0.5mm,color=pink,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5,0) node [pos=0.8,below] {$\vec{a}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=pink,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,3) node [pos=0.8,left] {$\vec{b}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=blue,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (2,0) node [midway,below] {$\vec{a}\,^{\circ}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=blue,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0.63,1.9) node [midway,left] {$\vec{b}\,^{\circ}$};
     \draw [line width=0.5mm,color=magenta,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5.26,3.8) node [midway,above=1mm] {$2\vec{w}$};

Das Vektorprodukt
.................

.. topic:: Allgemein gilt:

   Für alle :math:`\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\
   a_{2}\\
   a_{3}
   \end{pmatrix}` und :math:`\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\
   b_{2}\\
   b_{3}
   \end{pmatrix}` des :math:`\mathbb{R}^{3}` heißt der Vektor
   
   :math:`\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
   a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
   a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
   \end{pmatrix}` das *Vektorprodukt* der Vektoren :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}`.

Für alle :math:`\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^{3}` verschieden vom Nullvektor und :math:`\lambda\in\mathbb{R}` gelten folgende Eigenschaften des *Vektorprodukts*:

- | :math:`\vec{a}\times\vec{b}` ist ein Vektor, also :math:`\vec{a}\times\vec{b}\in\mathbb{R}^{3}`. 
- | :math:`\vec{a}\times\vec{b}` steht senkrecht auf :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}`, also :math:`\vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{a}` und :math:`\vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{b}`.
- | Die Vektoren :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{a}\times\vec{b}` bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (rechte Hand Regel).

.. tikz::
   :align: left
   :xscale: 50
      
   \usetikzlibrary {arrows.meta}
   \draw [line width=0.5mm,color=olive,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5,0) node [pos=0.8,below] {$\vec{a}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=red,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (3,1) node [pos=0.6,above] {$\vec{b}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=violet,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,3) node [midway,left] {$\vec{a}\times\vec{b}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=gray,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,-3) node [midway,left] {$\vec{b}\times\vec{a}$};
     
- | Alternativgesetz: :math:`\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}`.
- | Distributivgesetz: :math:`\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}`
- | gemischtes Assoziativgesetz: :math:`\lambda\vec{a}\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times\lambda\vec{b}`
- | Das reine Assoziativgesetz gilt im Allgemeinen nicht: :math:`(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\neq\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})`.
- | Geometrische Bedeutung des Vektorproduktes: Ist :math:`\varphi=\measuredangle(\vec{a};\vec{b})` der Winkel zwischen :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}`, so ist der Betrag von :math:`\vec{a}\times\vec{b}` gleich der Flächenzahl des von :math:`\vec{a}` und :math:`\vec{b}` bestimmten Parallelogramms:|br|:math:`|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\varphi`.

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   :align: left
   :xscale: 75
      
   \usetikzlibrary {arrows.meta}
   \draw[teal,line width=0.2mm] (1,0) arc[start angle=0, end angle=18.43, radius=1cm] node [midway,right] {$\scriptsize{\varphi}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (5,0)  -- (8,1) -- (3,1);
   \draw [line width=0.5mm,color=olive,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5,0) node [pos=0.8,below] {$\vec{a}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=red,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (3,1) node [pos=0.6,above] {$\vec{b}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=violet,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,3) node [midway,left] {$\vec{a}\times\vec{b}$};
   

Das Spatprodukt
...............

Ein Spat, auch Parallelflach genannt, wird von einer Ecke ausgehend, von drei Vektoren :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` des :math:`\mathbb{R}^{3}` bestimmt.

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   :align: left
   :xscale: 50
   
   \usetikzlibrary {arrows.meta}
   \draw [line width=0.5mm,color=teal!67] (0.5,3) -- (1.5,5) -- (5.5,5) -- (4.5,3) -- (0.5,3);
   \draw [line width=0.5mm,color=teal!67] (1,2) -- (5,2) -- (4,0);
   \draw [line width=0.5mm,color=teal!67] (1,2) -- (1.5,5);
   \draw [line width=0.5mm,color=teal!67] (5,2) -- (5.5,5);
   \draw [line width=0.5mm,color=teal!67] (4,0) -- (4.5,3);
   \draw [line width=0.5mm,color=magenta,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (4,0) node [midway,below] {$\vec{a}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=magenta,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,2) node [midway,right] {$\vec{b}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=magenta,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0.5,3) node [midway,left] {$\vec{c}$};
   
Die Maßzahl des Volumens des Spats, also die Volumenzahl :math:`V`, berechnen wir mit der Formel:

:math:`V=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|`.

.. topic:: Allgemein gilt:

   Die reelle Zahl
   
   :math:`(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\in\mathbb{R}`
   
   ist das *Spatprodukt* der Vektoren :math:`\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^{3}`. 

Das *Spatprodukt* hat folgende Eigenschaften:

- | Das *Spatprodukt* ist eine reelle Zahl: :math:`(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\in\mathbb{R}`.
- | Der Betrag :math:`|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|` des *Spatprodukts* :math:`\left( \vec{a}\times \vec{b}\right) \cdot \vec{c}` ist die Maßzahl des Volumens des von :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` bestimmten Spats.
- | Ist :math:`(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = 0`, so liegen die Vektoren :math:`\vec{a}`, :math:`\vec{b}` und :math:`\vec{c}` in einer Ebene. Man sagt, die drei Vektoren sind *komplanar* oder sie sind *linear abhängig*. Ansonsten sind die drei Vektoren *linear unabhängig*.
- | Eine Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche hat die Volumenmaßzahl |br| :math:`V=\frac{1}{3}|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|`. |br| In der Skizze ist der Winkel :math:`\varphi`, den die Vektoren :math:`\vec{a}\times\vec{b}` und :math:`\vec{c}` bilden, ein spitzer Winkel .

.. tikz::
   :align: left
   :xscale: 75
      
   \usetikzlibrary {arrows.meta}
   \draw[gray,line width=0.2mm] (0,1) arc[start angle=90, end angle=71.57, radius=1cm] node [right] {$\scriptsize{\varphi}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (5,0) -- (1,3);
   \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (8,1) -- (1,3);
   \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (3,1) -- (1,3);
   \draw [line width=0.5mm,color=lightgray] (5,0)  -- (8,1) -- (3,1);
   \draw [line width=0.5mm,color=olive,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5,0) node [pos=0.8,below] {$\vec{a}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=red,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (3,1) node [pos=0.6,above] {$\vec{b}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=brown,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,3) node [midway,right] {$\vec{c}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=violet,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,3) node [midway,left] {$\vec{a}\times\vec{b}$};

- | Eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche hat die Volumenmaßzahl |br| :math:`V=\frac{1}{6}|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|`. |br| In der Skizze ist der Winkel :math:`\varphi`, den die Vektoren :math:`\vec{a}\times\vec{b}` und :math:`\vec{c}` bilden, ein stumpfer Winkel .

.. tikz::
   :align: left
   :xscale: 50
      
   \usetikzlibrary {arrows.meta}
   \draw[teal,line width=0.2mm] (0,-1) arc[start angle=-90, end angle=71.57, radius=1cm] node [pos=0.3,right] {$\scriptsize{\varphi}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=teal] (5,0) -- (3,1);
   \draw [line width=0.5mm,color=teal] (5,0) -- (1,3);
   \draw [line width=0.5mm,color=teal] (1,3) -- (3,1);   
   \draw [line width=0.5mm,color=olive,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (5,0) node [pos=0.8,below] {$\vec{b}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=red,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (3,1) node [pos=0.6,above] {$\vec{a}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=violet,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (1,3) node [midway,left] {$\vec{c}$};
   \draw [line width=0.5mm,color=gray,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,-3) node [midway,left] {$\vec{a}\times\vec{b}$};