Geometrische Anwendungen
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   geometrische_anwendungen_aufgaben.rst


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    <hr style="height:4px;border-width:0;color:#8B3A3A;background-color:#8B3A3A"> 
    
       
In der analytischen Geometrie werden die Ergebnisse der Vektoralgebra zur rechnerischen Lösung geometrischer Probleme benutzt. In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem hat jeder *Punkt* :math:`X`, einen entsprechenden *Ortsvektor* :math:`\overrightarrow{OX}`. Eine weitere Aufgabe besteht nun darin, die Gebilde *Gerade* und *Ebene* mit Hilfe von Vektorgleichungen darzustellen.

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**Die Gerade**   

Eine Gerade :math:`g` ist festgelegt durch einen Punkt :math:`A\in g` und einem Vektor :math:`\vec{u}` . Der Punkt :math:`A` heißt *Aufpunkt* oder *Stützpunkt* von :math:`g`. Der Vektor :math:`\vec{u}` ist der *Richtungsvektor* von :math:`g`. Den Ortsvektor :math:`\vec{x}=\overrightarrow{OX}` eines beliebigen Punktes :math:`X` von :math:`g` können wir nun mit einer Geradengleichung in Parameterform darstellen.

.. topic:: Allgemein gilt:

   Im :math:`\mathbb{R}^{2}` oder :math:`\mathbb{R}^{3}` werden Geradengleichungen in der Parameterform angegeben.

   :math:`g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\vec{u}` , oder

   :math:`g:\begin{pmatrix}x_{1}\\
   x_{2}\\
   x_{3}
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\
   a_{2}\\
   a_{3}
   \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}u_{1}\\
   u_{2}\\
   u_{3}
   \end{pmatrix}` mit :math:`\lambda\in\mathbb{R}`

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Durchläuft :math:`\lambda` alle reellen Zahlen, so beschreibt :math:`\vec{x}` alle Punkte der Geraden :math:`g`. Der Skalar :math:`\lambda` heißt *Parameter* der Geradengleichung von :math:`g`. Jedem Punkt :math:`X` der Geraden :math:`g` ist eindeutig ein bestimmter :math:`\lambda`-Wert zugeordnet. Umgekehrt entspricht jedem Wert :math:`\lambda\in\mathbb{R}` genau ein Punkt :math:`X\in g`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 75
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[line width=0.5mm,red!30] (-4,1) -- (4,3) node [right] {\small $g$};
     \draw [teal,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-2,1.5) -- (0,2) node [midway,above=1mm] {\small $\vec{u}$};
     \draw [teal,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (-2,1.5) node [midway,left=2mm] {\small $\overrightarrow{OA}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (2,2.5) node [midway,right=1mm] {\small $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\vec{u}$};
     \fill[gray] (0,0) circle (0.1) node [below=1mm] {\small $O$};
     \fill[gray] (-2,1.5) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $A$};
     \fill[gray] (2,2.5) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $X$};

Um zu untersuchen, ob ein Punkt :math:`B(b_{1};b_{2};b_{3})` auf :math:`g` liegt, setzt man :math:`B` in :math:`g` ein und erhält eine Vektorgleichung.

:math:`\begin{pmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}
\end{pmatrix}`

Falls die Vektorgleichung eine eindeutige Lösung hat, liegt der Punkt :math:`B` auf der Geraden :math:`g`, kurz :math:`B\in g`. Ansonsten liegt der Punkt :math:`B` nicht auf der Geraden :math:`g`.

|hr|

.. topic:: Allgemein gilt:

   Für die gegenseitige Lage zweier Geraden :math:`g` und :math:`h` gibt es folgende Möglichkeiten:

   - :math:`g` und :math:`h` sind identisch,
   - :math:`g` und :math:`h` sind echt parallel,
   - :math:`g` und :math:`h` schneiden sich in genau einem Punkt,
   - :math:`g` und :math:`h` sind windschief (nur im :math:`\mathbb{R}^{3}` möglich).

Die gegenseitige Lage von :math:`g` und :math:`h` bestimmten wir mit Hilfe ihrer Parametergleichungen.

:math:`g:\vec{x}=\vec{a}+\lambda \vec{u}` ; :math:`\lambda \in \mathbb{R}`
  
:math:`h:\vec{x}=\vec{b}+\mu \vec{v}` ; :math:`\mu \in \mathbb{R}`  
  
Bei der Untersuchung der Lage zweier Geraden :math:`g` und :math:`h` spielen die Richutngsvektoren der beiden Geraden eine zentrale Rolle.

- Sind die Richtungsvektoren :math:`\vec{u}` und :math:`\vec{v}` *parallel*, so sind die Geraden :math:`g` und :math:`h` *identisch*, falls der Aufpunkt :math:`A` von :math:`g` auf :math:`h` liegt. Ansonsten sind die beiden geraden *echt parallel*.  
- Sind die Richtungsvektoren :math:`\vec{u}` und :math:`\vec{v}` *nicht parallel*, so berechnen wir den Wert :math:`v=\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot\overrightarrow{AB}.` Ist :math:`v=0`, so schneiden sich :math:`g` und :math:`h` in *genau einem Punkt* :math:`S`. In diesem Fall liegen :math:`\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{AB}` in einer Ebene. Ist :math:`v\neq 0` , so sind die Geraden :math:`g` und :math:`h` *windschief*.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 90
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[line width=0.5mm,teal!30] (-6.5,3) -- (-1,4) node [right] {\small $g$};
     \draw[line width=0.5mm,orange!30] (-6.5,2.5) -- (-1,0) node [right] {\small $h$};
     \draw[line width=0.5mm,orange!30] (1.5,4) -- (6.5,1.5) node [right] {\small $h$};
     \draw[line width=0.5mm,teal!30] (1.5,0.5) -- (6.5,4) node [right] {\small $g$};     
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-2.5,3.73) -- (-4.5,3.36) node [midway,above=1mm] {\small $\vec{u}$};     
     \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-6,2.27) -- (-4,1.36) node [midway,below=1mm] {\small $\vec{v}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2,0.85) -- (3.5,1.9) node [midway,below=1mm] {\small $\vec{u}$};
     \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2.5,3.5) -- (4,2.75) node [midway,below=1mm] {\small $\vec{v}$};
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (-2.5,3.73) -- (-6,2.27) node [midway,right=5mm] {\small $\overrightarrow{AB}$};
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2,0.85) -- (2.5,3.5) node [midway,left=1mm] {\small $\overrightarrow{AB}$};     
     \fill[gray] (-2.5,3.73) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $A$};
     \fill[gray] (-6,2.27) circle (0.1) node [below=1mm] {\small $B$};
     \fill[gray] (2,0.85) circle (0.1) node [below=1mm] {\small $A$};
     \fill[gray] (2.5,3.5) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $B$};
     \fill[gray] (4.42,2.54) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $S$};

Zwei sich schneidende Geraden :math:`g` und :math:`h` haben den Punkt :math:`S` gemeinsam und schließen zwei Winkel ein, die sich zu :math:`180^{\circ}` ergänzen. Die Koordinaten des Punktes :math:`S` werden durch Gleichsetzten der Parametergleichung von :math:`g` und :math:`h` berechnet. Den Schnittwinkel :math:`\varphi` der Geraden :math:`g` und :math:`h` berechnen wir mit der Formel zur Berechnung eines Winkels. Mit dem Betrag im Zähler sorgen wir dafür, dass wir einen spitzen Winkel erhalten.

.. topic:: Allgemein gilt:

   Bei der Berechnung des Winkels :math:`\varphi`, den zwei Geraden einschließen, die sich in einem Punkt schneiden, steht das Skalarprodukt im Betrag.

   :math:`\varphi =\arccos \dfrac{\left\vert \vec{u}\cdot \vec{v}\right\vert }{\left\vert \vec{u}\right\vert \cdot \left\vert \vec{v}\right\vert}` ; :math:`0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}`

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**Die Ebene**

Die Lage einer Ebene :math:`E` im :math:`\mathbb{R}^{3}` ist festgelegt durch einen Stützpunkt :math:`A` und durch zwei nicht parallele Richtungsvektoren :math:`\vec{u}\neq \vec{0}` und :math:`\vec{v}\neq \overrightarrow{0}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[line width=0.5mm,orange!30] (0,1.5) -- (5,1.5) -- (6,3.5) -- (1,3.5) -- (0,1.5);
     \draw [teal!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=2mm, angle'=20]}] (1,2) -- (1.25,2.5) node [midway,left] {\small $\vec{u}$};
     \draw [teal!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=2mm, angle'=20]}] (1,2) -- (1.5,2) node [midway,below] {\small $\vec{v}$};
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (3,2) -- (4.5,2);
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (4.5,2) -- (5,3);
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (6,0) -- (3,2) node [midway,below=1mm] {\small $\overrightarrow{OA}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (6,0) -- (5,3) node [midway,right=1mm] {\small $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$};
     \fill[gray] (3,2) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $A$};
     \fill[gray] (5,3) circle (0.1) node [left=1mm] {\small $X$};
     \fill[gray] (6,0) circle (0.1) node [right=1mm] {\small$O$};
     \draw[orange!30](1.25,3.25) node {\small $E$};

Den Ortsvektor :math:`\vec{x}=\overrightarrow{OX}` eines beliebigen Punktes :math:`X` von :math:`E` können wir nun mit einer Ebenengleichung in Parameterform darstellen.

.. topic:: Allgemein gilt:

   Im :math:`\mathbb{R}^{3}` werden Ebenengleichungen in der Parameterform angegeben.
   
   :math:`E:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}` , oder

   :math:`E:\begin{pmatrix}x_{1}\\
   x_{2}\\
   x_{3}
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\
   a_{2}\\
   a_{3}
   \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}u_{1}\\
   u_{2}\\
   u_{3}
   \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}v_{1}\\
   v_{2}\\
   v_{3}
   \end{pmatrix}` mit :math:`\lambda,\mu\in\mathbb{R}`

Der Punkt :math:`A` heißt *Aufpunkt* oder *Stützpunkt* von :math:`E`. Die beiden Vektoren :math:`\vec{u}` und :math:`\vec{v}` sind die *Richtungsvektoren* von :math:`E`.

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Durchlaufen :math:`\lambda` und :math:`\mu` alle reellen Zahlen, so beschreibt :math:`\vec{x}` alle Punkte der Ebene :math:`E`. Die Skalare :math:`\lambda` und :math:`\mu` heißen *Parameter* der Ebenengleichung von :math:`E`.

|hr|

Jedem Punkt :math:`X` der Ebene :math:`E` ist eindeutig ein bestimmter :math:`\lambda`-Wert und :math:`\mu`-Wert zugeordnet. Umgekehrt entspricht jedem Wertepaar :math:`\left( \lambda ,\mu \right)` genau ein Punkt :math:`X\in E`. Daraus ergibt sich, dass ein Punkt :math:`B(b_{1};b_{2};b_{3})` genau dann auf der Ebene :math:`E` liegt, wenn die Komponenten seines Ortsvektors :math:`\vec{b}` beim Einsetzten in die *Punkt-Richtungs-Gleichung* der Ebene :math:`E` stets dieselben Werte für :math:`\lambda` und :math:`\mu` ergeben.

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Die Lage einer Ebene :math:`E` lässt sich auch durch drei verschiedene Punkte :math:`A`, :math:`B` und :math:`C` bestimmen. Als Richtungsvektoren der Ebene :math:`E` nehmen wir beispielsweise die Vektoren :math:`\overrightarrow{AB}` und :math:`\overrightarrow{AC}`.

|hr|

Im :math:`\mathbb{R}^{3}` haben wir die Möglichkeit eine Ebene :math:`E` auch anders darzustellen. Wir wissen, dass es zu zwei linear unabhängigen und vom Nullvektor verschiedenen Vektoren :math:`\vec{u}` und :math:`\vec{v}`  unendlich viele senkrechte Vektoren unterschiedlicher Länge gibt, die alle die gleiche oder die entgegengesetzte Richtung haben. Diese Vektoren sind ein Vielfaches des Vektors, den wir mit dem Kreuzprodukt aus :math:`\vec{u}` und :math:`\vec{v}` berechnen.

:math:`\rho(\vec{u}\times\vec{v})\bot\vec{u}` und :math:`\rho(\vec{u}\times\vec{v})\bot\vec{v}` mit :math:`\rho\in\mathbb{R}`

Ein zu den Richtungsvektoren :math:`\vec{u}` und :math:`\vec{v}` einer Ebene :math:`E` senkrechter Vektor :math:`\vec{n}` heißt *Normalenvektor* der Ebene :math:`E`. Im :math:`\mathbb{R}^{3}` finden wir einen *Normalenvektor* :math:`\vec{n}` mit Hilfe des Vektorprodukts :math:`\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 30
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw [blue,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (3,0.5) node [midway,above=1mm] {\small{$\vec{v}$}};
     \draw [orange,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (4,-0.5) node [midway,below=1mm] {\small{$\vec{u}$}};
     \draw [magenta,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (0,0) -- (0,3) node [midway,right=1mm] {\small{$\vec{n}$}};
  
Nehmen wir den Aufpunkt :math:`A` und einen beliebigen anderen Punkt :math:`X` von :math:`E`, so erkennen wir, dass :math:`\vec{n}\bot\overrightarrow{AX}` und folgern daraus :math:`\vec{n}\cdot\overrightarrow{AX}=0`. Das gilt für alle Punkte der Ebene :math:`E` und für keine anderen. Nach diesem Prinzip stellen wir eine Gleichung der Ebene :math:`E` auf. Diese parameterfreie Gleichung der Ebene :math:`E` heißt *Normalenform* der Ebene :math:`E`. Die ausmultiplizierte *Normalenform* nennen wir *Koordinatenform* der Ebene :math:`E` im :math:`\mathbb{R}^{3}`.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 70
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[line width=0.5mm,orange!30] (0,1.5) -- (5,1.5) -- (6,3.5) -- (1,3.5) -- (0,1.5);
     \draw [teal!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=2mm, angle'=20]}] (1,2) -- (1.25,2.5) node [midway,left] {\small $\vec{u}$};
     \draw [teal!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=2mm, angle'=20]}] (1,2) -- (1.5,2) node [midway,below] {\small $\vec{v}$};
     \draw [blue!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (2,2.5) -- (2,5) node [pos=0.8,right=1mm] {\small $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$};     
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (3,2) -- (5,3) node [midway,above=1mm] {\small $\overrightarrow{AX}$};
     \draw [olive,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (6,0) -- (3,2) node [midway,below=1mm] {\small $\overrightarrow{OA}$};
     \draw [violet,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (6,0) -- (5,3) node [midway,right=1mm] {\small $\vec{x}$};
     \fill[gray] (3,2) circle (0.1) node [above=1mm] {\small $A$};
     \fill[gray] (5,3) circle (0.1) node [right=1mm] {\small $X$};
     \fill[gray] (6,0) circle (0.1) node [right=1mm] {\small$O$};
     \draw[orange!30](1.25,3.25) node {\small $E$};
     \draw[cyan](8,2.5) node {\small $E:\vec{n}\cdot(\vec{x}-\overrightarrow{OA})=0$};

.. topic:: Allgemein gilt:

   Im :math:`\mathbb{R}^{3}` werden Ebenengleichungen in der Normalenform und der Koordinatenform angegeben.

   :math:`\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}` (Normalenvektor von :math:`E` )
   
   :math:`E:\vec{n}\cdot(\vec{x}-\overrightarrow{OA})=0` (Normalenform von :math:`E` )
   
   :math:`E:n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}+d=0` (Koordinatenform von :math:`E` )

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**Lage einer Geraden zu einer Ebene**

Die gegenseitige Lage einer Geraden :math:`g` zu einer Ebene :math:`E` untersuchen wir am einfachsten, wenn eine Normalengleichung der Ebene :math:`E` vorliegt. Hat eine Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems gemeinsame Punkte, so nennen wir diese Punkte *Spurpunkte* von :math:`E`.

:math:`g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\vec{u}`
   
:math:`E:\vec{n}(\vec{x}-\overrightarrow{OB})=0`

.. topic:: Allgemein gilt:

   Für die gegenseitige Lage einer Geraden :math:`g` zu einer Ebene :math:`E` im :math:`\mathbb{R}^{3}` gibt es folgende Möglichkeiten:

   - :math:`g` liegt in :math:`E`,
   - :math:`g` und :math:`E` sind echt parallel, oder
   - :math:`g` schneidet :math:`E` in genau einem Punkt.

Bei der Untersuchung der Lage von :math:`g` zu :math:`E` setzen wir die Parametergleichung von :math:`g` in die Normalengleichung von :math:`E` ein. Wir erhalten dadurch eine lineare Gleichung mit der Unbekannten :math:`\lambda`.

:math:`\vec{n}(\overrightarrow{OA}+\lambda\vec{u}-\overrightarrow{OB})=0`

Wenn wir eine lineare Gleichung lösen, so treten dabei drei unterschiedliche Fälle auf. 

- Ist die Gleichung eindeutig lösbar mit der Lösung :math:`\lambda _{S}`, so schneidet die Gerade :math:`g` die Ebene :math:`E` in genau einem Punkt :math:`S`. Setzen wir nun den Wert von :math:`\lambda _{S}` in :math:`g` ein, so erhalten wir den Ortsvektor :math:`\overrightarrow{OS}` des Schnittpunktes :math:`S`.
- Hat die Gleichung keine reelle Lösung, so sind die Gerade :math:`g` und die Ebene :math:`E` echt parallel.
- Hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade :math:`g` in der Ebene :math:`E`.

|hr|

Schneidet eine Gerade :math:`g` eine Ebene :math:`E` in genau einen Punkt :math:`S`, so entsteht der Schnittwinkel :math:`\varphi=\measuredangle (g;E)`. Den Winkel :math:`\varphi` berechnen wir mit der Formel zur Berechnung eines Winkels. Mit dem Betrag im Zähler sorgen wir dafür, dass wir einen spitzen Winkel erhalten.

.. tikz::
     :align: left
     :xscale: 50
      
     \usetikzlibrary {arrows.meta}
     \draw[line width=0.5mm,orange!30] (5,1.5) -- (6,3.5) -- (1,3.5) -- (0,1.5);     
     \draw[teal,line width=0.2mm] (2,2) -- (4.5,2);
     \draw[teal,line width=0.2mm] (4,2) arc[start angle=0, end angle=63.43, radius=1cm] node [right=1mm]{$\varphi$};
     \draw [teal!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=2mm, angle'=20]}] (1,2) -- (1.25,2.5) node [midway,left] {\small $\vec{u}$};
     \draw [teal!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=2mm, angle'=20]}] (1,2) -- (1.5,2) node [midway,below] {\small $\vec{v}$};
     \draw [blue!40,line width=0.5mm,arrows = {-Stealth[inset=0, length=5mm, angle'=20]}] (3,2) -- (3,4.5) node [pos=0.8,right=1mm] {\small $\vec{n}$};
     \draw[brown,line width=0.5mm] (2.5,1) -- (4.5,5) node [right=1mm] {\small $g$};
     \fill[gray] (3,2) circle (0.1) node [right=1mm, below] {\small $S$};             
     \draw[orange!30](1.25,3.25) node {\small $E$};
     \draw[line width=0.5mm,orange!30] (0,1.5) -- (5,1.5);

.. topic:: Allgemein gilt:

   Bei der Berechnung des Winkels :math:`\varphi`, den eine Gerade und eine Ebene einschließen, die sich in einem Punkt schneiden, steht das Skalarprodukt im Betrag.

   :math:`\varphi =90^{\circ}-\arccos \dfrac{\left\vert \vec{u}\cdot \vec{n}\right\vert }{\left\vert \vec{u}\right\vert \cdot \left\vert \vec{n}\right\vert}` ; :math:`0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}`
   
   Der Vektor :math:`\vec{n}` ist ein Normalenvektor der Ebene :math:`E`.

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**Gegenseitige Lage zweier Ebenen**

Die gegenseitige Lage zweier Ebenen :math:`E` und  :math:`F` untersuchen wir am einfachsten, wenn beide Ebenen in einer Normalengleichung vorliegen. Die *Spurgeraden* einer Ebene :math:`E` sind die Schnittgeraden der Ebene :math:`E` mit dem Koordinatenebenen.

:math:`E:\vec{n}_{E}(\vec{x}-\overrightarrow{OA})=0`
   
:math:`F:\vec{n}_{F}(\vec{x}-\overrightarrow{OB})=0`

.. topic:: Allgemein gilt:

   Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen :math:`E` und :math:`F` im :math:`\mathbb{R}^{3}` gibt es folgende Möglichkeiten:

   - :math:`E` und :math:`F` sind identisch,
   - :math:`E` und :math:`F` sind echt parallel, oder
   - :math:`E` und :math:`F` schneiden sich in einer Geraden.

Bei der Untersuchung der Lage von :math:`E` zu :math:`F` spielen die Normalenvektoren :math:`\vec{n}_{E}` und :math:`\vec{n}_{F}` eine wichtige Rolle. 

- Sind die Normalenvektoren :math:`\vec{n}_{E}` und :math:`\vec{n}_{F}` linear abhängig, so sind :math:`E` und :math:`F` *parallel*. Liegt der Aufpunkt :math:`A` von :math:`E` auf :math:`F`, so sind die beiden Ebenen *identisch*. Ansonsten sind die beiden Ebenen *echt parallel*.
- Sind die Normalenvektoren :math:`\overrightarrow{n}_{E}` und :math:`\overrightarrow{n}_{F}` linear unabhängig, so haben die Ebenen :math:`E` und :math:`F` eine *gemeinsame Schnittgerade* :math:`s`.

:math:`s:\vec{x}=\overrightarrow{OQ}+\tau\vec{w}`

Der Richtungsvektor :math:`\vec{w}` ist parallel zu dem Vektor :math:`\vec{n}_{E}\times\vec{n}_{F}` und die Koordinaten des Punktes :math:`Q` sind eine Lösung des Gleichungssystems, das die Koordiantenform der Ebenen :math:`E` und :math:`F` bestimmen. 

|hr|

Zwei sich schneidende Ebenen :math:`E` und :math:`F` schließen zwei Winkel ein, die sich zu :math:`180^{\circ}` ergänzen. Der Schnittwinkel :math:`\varphi=\measuredangle(E;F)` der Ebenen :math:`E` und :math:`F` ist der kleinere dieser Winkel.

.. math::

   \varphi =\measuredangle \left( E;F\right) \text{ mit }0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ} \text{.}

.. topic:: Allgemein gilt:

   Der Schnittwinkel :math:`\varphi` zweier sich schneidenden Ebenen :math:`E` und :math:`F` entspricht dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren :math:`\vec{n}_{E}` und :math:`\vec{n}_{F}` bestimmen.

   :math:`\varphi =\arccos \dfrac{\left\vert \vec{n}_{E}\cdot \vec{n}_{F}\right\vert }{\left\vert \vec{n}_{E}\right\vert \cdot \left\vert \vec{n}_{F}\right\vert}` ; :math:`0^{\circ}\leq\varphi\leq 90^{\circ}`