Kurvendiskussion von gebrochen-rationalen Funktionen
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Als *Kurvendiskussion* bezeichnet man die Untersuchung einer gegebenen Funktion :math:`f` mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung. Anschließend kann mit Hilfe der gewonnen Kenntnisse der Graph :math:`G_{f}` der Funkion :math:`f` genau gezeichnet werden. Die Diskussion einer reellen Funktion :math:`f` umfasst Berechnungen zu:

- Symmetrie von :math:`G_{f}` zum Ursprung oder zur :math:`y`-Achse des Koordinatensystems,
- Nullstellen und Arten der Definitionslücken von :math:`f`,
- Asymptoten von :math:`G_{f}`,
- Monotonieverhalten von :math:`f` oder :math:`G_{f}`,
- Krümmungsverhalten von :math:`G_{f}`,
- Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von :math:`G_{f}`,
- der Flächenzahl von bestimmten Flächen mit dem Integral.


**Ableitungsregeln**

Bei der Ableitung der gebrochen-rationalen Funktionen kommen zu den bekannten Ableitungsregeln noch einige dazu. Folgende Regeln erleichtern das Ableiten gebrochen-rationaler Funktionen.

- Jede konstante Funktion :math:`f:x\longmapsto c` ; :math:`c,x\in \mathbb{R}` ist in :math:`\mathbb{R}` differenzierbar und es gilt:
  :math:`f^{\prime }(x)=0`.
- Die Funktionen :math:`f:x\longmapsto x^{n}` ; :math:`n\in \mathbb{N}` ; :math:`x\in \mathbb{R}` sind differenzierbar in :math:`\mathbb{R}` und es gilt: :math:`f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}`.
- Die gebrochen-rationale Funktion :math:`f:x\longmapsto \dfrac{1}{x}` ; :math:`D_{f}=\mathbb{R} \setminus \{0\}` ist in :math:`\mathbb{R} \setminus \{0\}` differenzierbar und es gilt: :math:`f^{\prime }(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}`.

Gegeben sind zwei reelle Funktionen :math:`f` und :math:`g`, die in ihren Definitionsmengen differenzierbar sind. Dann gilt:

- | Die Funktion :math:`k:x\longmapsto c\cdot f(x)` mit :math:`c\in \mathbb{R}` ist differenzierbar und es gilt: :math:`k^{\prime }(x)=c\cdot f^{\prime}(x)`.
- | Die Funktionen :math:`s:x\longmapsto f(x)+g(x)` und :math:`d:x\longmapsto f(x)-g(x)` sind differenzierbar und es gilt: :math:`s^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+ g^{\prime }(x)` und :math:`d^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)- g^{\prime }(x)`.
- | *Produktregel*: Die Funktion :math:`p:x\longmapsto f(x)\cdot g(x)` ist differenzierbar und es gilt: :math:`p^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)`.
- | *Kettenregel*: Ist :math:`g` in :math:`D_{g}` differenzierbar und :math:`f` in :math:`W_{g}` differenzierbar, dann ist die Funktion :math:`v:x\longmapsto f(g(x))` in :math:`D_{v}` differenzierbar und es gilt: :math:`v^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)`.
- | Die Funktion :math:`u:x\longmapsto \dfrac{1}{f(x)}` ist in :math:`x\in D_{u}` differenzierbar und es gilt: :math:`u^{\prime }(x)=-\dfrac{f^{\prime }(x)}{f^{2}(x)}`.
- | *Quotientenregel*: Die Funktion :math:`q:x\longmapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}` ist in :math:`D_{q}` differenzierbar und es gilt:|br|:math:`q^{\prime }(x)=\dfrac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^{2}(x)}`.

**Integrationsregeln**

Die *Integralrechnung* ist die Umkehrung der *Differentialrechnung*.

- *Differentialrechnung*: :math:`f(x)\longrightarrow f^{\prime}(x)`
- *Integralrechnung*: :math:`f^{\prime}(x)\longrightarrow f(x)=\int f^{\prime}(x)dx+C` ; :math:`C\in\mathbb{R}`

Eine *Stammfunktion* :math:`F` einer gegebenen Funktion :math:`f` ist eine Funktion, die im gleichen Intervall wie :math:`f` definiert ist und es gilt: :math:`F^{\prime}(x)=f(x)`.

- Schreibweise: :math:`F(x)=\int f(x)dx+C` mit :math:`F^{\prime}(x)=f(x)` und :math:`C\in\mathbb{R}`

Zu jeder integrierbaren Funktion :math:`f` gibt es unendlich viele *Stammfunktionen*, die sich nur durch eine *additive Konstante* :math:`C` unterscheiden. Alle *Stammfunktionen* besitzen an allen Stellen :math:`x_{0}` die gleiche Steigung, da ihre Ableitungen gleich sind. Die *Stammfunktionen* gehen durch Parallelverschiebung in :math:`y`-Richtung ineinander über.

Integrale, deren Integrationskonstante :math:`C` nicht festgelegt ist, werden durch eine *Funktionenschar* repräsentiert. Diese *Funktionenschar* heißt *unbestimmtes Integral*.

- | :math:`I=\int f(x)dx+C` ; :math:`C\in\mathbb{R}`

Sind bei einem Integral die Integrationsgrenzen festgelegt, so liegt ein *bestimmtes Integral* vor und das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

- | :math:`A=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\in\mathbb{R}`

:math:`F(x)` ist dabei eine beliebige *Stammfunktion* von :math:`f(x)`. Falls für die Funktion :math:`f` gilt: :math:`f(x)\geq 0` für alle :math:`x\in\left[a;b\right]` mit :math:`a<b`, so ist die berechnete Zahl :math:`A` die Flächenzahl der Fläche, die von :math:`G_{f}`, der :math:`x`-Achse und den Geraden mit den Gleichungen :math:`x=a` und :math:`x=b` eingeschlossen wird.

Die Integration wird mit Hilfe folgender *Integrationsregeln* durchgeführt:

- | *Faktorregel*: :math:`\int c\cdot f(x)dx=c\cdot\int f(x)dx`
- | *Summenregel*: :math:`\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx`
- | *Potenzregel*: :math:`\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}` mit :math:`n\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}`
- | *Vertauschungsregel*: :math:`\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}f(x)dx`
- | *Gleiche Grenzen*: :math:`\int\limits_{a}^{a}f(x)dx=0`
- | *Intervallregel*: :math:`\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)dx`
- | *Spezielle Form*: :math:`\int f(x)\cdot f^{\prime}(x)dx=\frac{1}{2}(f(x))^{2}+C=\frac{1}{2}f^{2}(x)+C`
- | *Logarithmische Integration*: :math:`\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln\left|f(x)\right|+C`
- | *Substitutionsregel*: :math:`\int f(g(x))\cdot g^{\prime}(x)dx=\int f(z)dz` mit :math:`z=g(x)`

*Uneigentliche Integrale*:

- | :math:`\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\underset{b\rightarrow\infty}{\lim}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx`
- | :math:`\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx=\underset{a\rightarrow-\infty}{\lim}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx`
- | :math:`\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\underset{a\rightarrow\infty}{\lim}\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx`

Man berechnet zunächst das Integral mit endlichen Grenzen und bildet dann den Grenzwert.