Integralrechnung
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Die Integralrechnung behandelt nicht das Verhalten von Funktionen wie die Differenzialrechnung, sondern sie beschäftigt sich mit der Lösung einer speziellen Aufgabe, die man als *Flächenproblem* bezeichnet. Es handelt sich dabei um die Definition und die Berechnung der *Maßzahl des Flächeninhalts* eines beliebigen ebenen Flächenstücks. Auf den ersten Blick scheinen deshalb die beiden Hauptteile der Analysis, Differential- und Integralrechnung, grundverschieden zu sein, doch wird sich bald zeigen, dass ein überraschend enger Zusammenhang zwischen ihnen besteht.

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**Das unbestimmte Integral**

Eine reelle Funktion :math:`F` heißt *Stammfunktion* einer reellen Funktion :math:`f` in einem Intervall :math:`I\subseteq D_{f}` und :math:`I\subseteq D_{F^{\prime }}`, wenn gilt:

:math:`\frac{d}{dx}F(x)=F^{\prime }(x)=f(x)` für alle :math:`x\in I`.

*Stammfunktionen* haben folgende Eigenschaften:

- | Ist :math:`F_{1}` eine *Stammfunktion* der Funktion :math:`f` und :math:`C\in \mathbb{R}` eine beliebige Konstante, so ist auch die Funktion :math:`F_{2}:x\mapsto F_{1}(x)+C` mit :math:`D_{F_{2}}=D_{F_{1}}` eine *Stammfunktion* der Funktion :math:`f`.
- | Sind :math:`F_{1}` und :math:`F_{2}` zwei unterschiedliche *Stammfunktionen* einer Funktion :math:`f` im gleichen Intervall :math:`I`, so unterscheiden sich :math:`F_{1}` und :math:`F_{2}` nur durch eine additive Konstante :math:`C\in \mathbb{R}` und es gilt: :math:`F_{1}(x)=F_{2}(x)+C` für alle :math:`x\in I`.

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Aus den beiden Eigenschaften folgt, dass eine Funktion :math:`f`, die eine *Stammfunktion* :math:`F` besitzt, nicht nur eine, sondern unendlich viele *Stammfunktionen* besitzt. Die Menge aller *Stammfunktionen* einer Funktion :math:`f` in einem Intervall :math:`I` wird mit :math:`\int f(x)dx` bezeichnet und es gilt:

.. math::

   \int f(x)dx=\left\{ F(x)|F^{\prime }(x)=f(x)\text{ für alle }x\in I\right\} \text{.}
   
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Der Term :math:`\int f(x)dx` heißt dabei *unbestimmtes Integral* von :math:`f`. Ist die Funktion :math:`F_{1}` irgend eine *Stammfunktion* der Funktion :math:`f` in einem Intervall :math:`I`, so gilt:

.. math ::

   \begin{eqnarray*}
   \int f(x)dx &=&\left\{ F(x)|F(x)=F_{1}(x)+C\text{ mit }C\in \mathbb{R} \right\} \text{ oder kurz} \\
   \int f(x)dx &=&F_{1}(x)+C\text{ mit }C\in \mathbb{R} \text{.}
   \end{eqnarray*}

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Die Integration wird bei ganzrationalen Funktionen mit Hilfe folgender *Integrationsregeln* durchgeführt:

- | *Faktorregel*: :math:`\int c\cdot f(x)dx=c\cdot\int f(x)dx`
- | *Summenregel*: :math:`\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx`
- | *Potenzregel*: :math:`\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}` mit :math:`n\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}`

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**Das bestimmte Integral**

Sei :math:`F` eine beliebige *Stammfunktion* der Funktion :math:`f`. Dann gilt:

.. math::

   \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\left[ F(x)\right] _{a}^{b}=F(b)-F(a)\text{ .}

:math:`\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\in \mathbb{R}`, ist also eine *reelle Zahl* und heißt *bestimmtes Integral* der Funktion :math:`f` mit der *Obergrenze* :math:`b` und der *Untergrenze* :math:`a`.

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Eigenschaften des *bestimmten Integrals*:

- | :math:`\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}f(x)dx`
- | :math:`\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)dx` mit :math:`a<c<b`
- | :math:`\int\limits_{a}^{b}kf(x)dx=k\int\limits_{a}^{b}f(x)dx` mit :math:`k\in \mathbb{R}`
- | :math:`\int\limits_{a}^{b}\left( f(x)\pm g(x)\right)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\pm \int\limits_{a}^{b}g(x)dx`

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Das bestimmte Integral hat folgende geometrische Bedeutung:

Sind :math:`f` und :math:`g` zwei stetige Funktionen in einem Intervall :math:`\left[a;b\right]` mit :math:`a<b` und gilt :math:`f(x)\geq g(x)` für alle :math:`x\in\left[a;b\right]`, so ist :math:`\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx\geq0`.

Außerdem ist in diesem Fall :math:`\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx` ist die *Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche*, die von :math:`G_{f}`, :math:`G_{g}` und den vertikalen Geraden mit den Gleichungen :math:`x=a` und :math:`x=b` eingeschlossen ist.

Gilt hingegen :math:`f(x)\leq g(x)` für alle :math:`x\in\left[a;b\right]`, so ist :math:`\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx\leq0`. In diesem Fall wird die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche, die von :math:`G_{f}`, :math:`G_{g}` und den vertikalen Geraden mit den Gleichungen :math:`x=a` und :math:`x=b` eingeschlossen ist, mit :math:`-\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx` berechnet.

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Im Allgemeinen ist der Wert des bestimmten Integrals :math:`\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx` eine *Flächenbilanz* zwischen den Flächen, bei denen :math:`G_{f}` oberhalb :math:`G_{g}` (positiver Wert) und den Flächen, bei denen :math:`G_{f}` unterhalb :math:`G_{g}` (negativer Wert) verläuft. Setzt man :math:`g(x)=0`, so werden mit :math:`\int\limits_{a}^{b}f(x)dx` *Flächenbilanzen* für Flächen betrachtet, die :math:`G_{f}` mit der :math:`x`-Achse bestimmt.

.. _best_integral:

.. tikz::
   :align: left
   :xscale: 75
   
   \draw[very thin,color=gray] (-0.2,-0.2) grid (9.9,5.9);
   \draw[->] (-0.5,0) -- (10.2,0) node[below] {\scriptsize $x$};
   \draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.2) node[left] {\scriptsize $y$};
   %\draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$};
   %\draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$};
   \draw[thick,domain=0.5:9.5,color=magenta,samples=100] plot (\x,{2.5*cos(pi/4*(\x-1) r)+3}) node[right] {$G_f$};
   \draw[thick,domain=0.5:9.5,color=orange,samples=65] plot (\x,{2.5*sin(pi/4*(\x-1) r)+3}) node[right] {$G_g$};
   \draw[thin, color=teal] (1,0) node [below] {$a$} -- (1,5.5);
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   \draw[thin, color=teal] (6,0) node [below] {$r$} -- (6,1.23);
   \draw[thin, color=teal] (9,0) node [below] {$b$} -- (9,5.5);
   \draw[color=blue] (1.4,4.5) node{$A_1$};
   \draw[color=blue] (3.5,3.5) node{$A_2$};
   \draw[color=blue] (7.5,2.5) node{$A_3$};

Die Maßzahl des Flächeninhalts der Flächen, die von :math:`G_{f}`, :math:`G_{g}` und den vertikalen Geraden mit den Gleichungen :math:`x=a` und :math:`x=b` eingeschlossen ist berechnet sich hier mit:

.. math::

   \left[A\right]_{a}^{b}=\int\limits_{a}^{q}(f(x)-g(x))dx-\int\limits_{q}^{r}(f(x)-g(x))dx+\int\limits_{r}^{b}(f(x)-g(x))dx \text{ .}