Logarithmusfunktionen ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. toctree:: :maxdepth: 1 logarithmus_aufgaben.rst .. |br| raw:: html
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Die natürliche Exponentialfunktion :math:`g:y=e^{x}` hat den Definitionsbereich :math:`D_{g}=\mathbb{R}` und den Wertebereich :math:`W_{g}=\mathbb{R}^{+}`. Außerdem ist der Graph der natürlichen Exponentialfunktion echt monoton steigend. Stellen wir die Gleichung :math:`y=e^{x}` nach :math:`x` um, so erhalten wir die Beziehung :math:`x=\ln y`. Daraus definieren wir die *natürliche Logarithmusfunktion*. .. topic:: Allgemein gilt: Die Funktion :math:`f:x\mapsto \ln(x)` mit :math:`x\in\mathbb{R}^{+}` heißt *natürliche Logarithmusfunktion*. Die *natürliche Logarithmusfunktion* hat den Wertebereich :math:`W_{f}=\mathbb{R}`. |hr| Wir wählen :math:`a,b\in\mathbb{R}^{+}` und weisen folgende Rechenregeln für den *natürlichen Logarithmus* nach. - :math:`\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)` :math:`a\cdot b=e^{\ln(a\cdot b)}` , aber auch :math:`a\cdot b=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}=e^{\ln(a)+\ln(b)}` Somit erhalten wir :math:`e^{\ln(a\cdot b)}=e^{\ln(a)+\ln(b)}` oder :math:`\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)` . - :math:`\ln a^{b}=b\cdot\ln a` :math:`a^{b}=e^{\ln a^{b}}` , aber auch :math:`a^{b}=\left(e^{\ln(a)}\right)^{b}=e^{\ln(a)\cdot b}=e^{b\cdot\ln(a)}` Somit erhalten wir :math:`e^{\ln a^{b}}=e^{b\cdot\ln(a)}` oder :math:`\ln a^{b}=b\cdot\ln a` . - :math:`\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b` :math:`\ln\frac{a}{b}=\ln(a\cdot b^{-1})=\ln(a)+\ln(b^{-1})=\ln a-\ln b` - :math:`\ln\sqrt[b]{a}=\frac{1}{b}\ln a` :math:`\ln\sqrt[b]{a}=\ln a^{\frac{1}{b}}=\frac{1}{b}\ln a` - Basisumrechnung beim Logarithmus :math:`a^{x}=b\Leftrightarrow x=\log_{a}b` :math:`\ln a^{x}=\ln b` ; :math:`x\cdot\ln a=\ln b` ; :math:`x=\frac{\ln b}{\ln a}` :math:`\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}` .. topic:: Allgemein gilt: :math:`q(x)=\log_{a}x=\dfrac{\ln x}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}\cdot\ln x` mit :math:`a,x\in\mathbb{R}^{+}` Somit können wir jede Logarithmusfunktion auf die *natürliche Logarithmusfunktion* zurückführen und die obigen Rechengesetze gelten dann auch für jede beliebige Logarithmusfunktion. .. topic:: Allgemein gilt: Die *natürliche Logarithmusfunktion* ist in :math:`\mathbb{R}^{+}` differenzierbar. :math:`f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}` mit :math:`x\in\mathbb{R}^{+}` . Zum Nachweis setzten wir :math:`e^{\ln x}=x` und leiten beide Seiten ab. :math:`\left(e^{\ln x}\right)^{\prime}=1` :math:`e^{\ln x}\cdot\left(\ln x\right)^{\prime}=1` :math:`x\cdot\left(\ln x\right)^{\prime}=1` :math:`\left(\ln x\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x}` |hr| :math:`f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}>0` für alle :math:`x\in\mathbb{R}^{+}`. Die *natürliche Logarithmusfunktion* ist in :math:`\mathbb{R}^{+}` differenzierbar und echt monoton zunehmend. Die zweite Ableitung der *natürlichen Logarithmusfunktion* ist :math:`f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}` . Das bedeutet dass der Graph :math:`G_{f}` der *natürlichen Exponentialpunktion* in :math:`\mathbb{R}^{+}` rechtsgekrümmt ist und keine Extrem oder Wendepunkte hat. |hr| Der Graph :math:`G_{f}` der *natürlichen Logarithmusfunktion* entsteht durch Spiegelung von :math:`G_{g}` an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. .. tikz:: :align: left :xscale: 50 \draw[very thin,color=gray] (-2.9,-2.9) grid (3.9,3.9); \draw[->] (-3.2,0) -- (4.2,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-3.2) -- (0,4.2) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,color=pink](-3,-3) -- (4,4); \draw[line width=0.5mm,domain=-3:1.2,color=orange,samples=100] plot(\x,{exp(\x)}) node[right]{$G_{g}$}; \draw[line width=0.5mm,domain=0.2:4,color=teal,samples=100] plot(\x,{ln(\x)}) node[right]{$G_{f}$}; \fill[gray] (0.5,-0.69) circle (0.08); \fill[gray] (1,0) circle (0.08); \fill[gray] (2,0.69) circle (0.08); \fill[gray] (3,1.10) circle (0.08); :math:`G_{f}` schneidet die :math:`x`-Achse im Punkt :math:`B(1;0)` und für die Randwerte gilt :math:`\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\ln x\right)=\infty` und :math:`\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\left(\ln x\right)=-\infty` . Die :math:`y`-Achse ist vertikale Asymptote von :math:`G_{f}`. |hr| Das unbestimmte Integral der *natürlichen Logarithmusfunktion* bestimmen wir mit Hilfe der partiellen Integration. Für zwei integrierbare Funktionen :math:`u` und :math:`v` gilt :math:`\int\left(u(x)\cdot v^{\prime}(x)\right)dx=u(x)\cdot v(x)-\int\left(u^{\prime}(x)\cdot v(x)\right)dx+C` . |hr| :math:`\int\ln xdx=\int(1\cdot\ln x)dx` :math:`\qquad =x\cdot\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx` :math:`\qquad =x\cdot\ln x-\int1dx=x\cdot\ln x-x+C` |hr| :math:`\int\left[(ax+b)\cdot\ln(mx)\right]dx=(\frac{a}{2}x^{2}+bx)\cdot\ln(mx)-\int(\frac{a}{2}x^{2}+bx)\cdot\dfrac{1}{x}dx` :math:`\qquad =(\frac{a}{2}x^{2}+bx)\cdot\ln(mx)-\int(\frac{a}{2}x+b)dx` :math:`\qquad =(\frac{a}{2}x^{2}+bx)\cdot\ln(mx)-\frac{a}{4}x^{2}-bx+C` |hr| Bei der Kurvendiskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen treten die Funktionsterme in kombinierter Form auf. Der betrachtete Funktionsterm ist ein Produkt oder ein Quotient aus einem Exponential-, Logarithmus-, oder einem Polynomterm. Berechnen wir bei solchen zusammengesetzten Termen einen Grenzwert, so stehen Polynomfunktionen, :math:`e`-Funktionen oder :math:`\ln`-Funktionen in gegenseitiger Konkurrenz. Mit Hilfe der *Prioritätsregeln* können wir die Berechnung von Grenzwerten bei zusammengesetzten Funktionstermen leichter durchführen. .. topic:: Allgemein gilt: - Die :math:`e`-Funktion dominiert bei der Grenzwertbildung für :math:`x\rightarrow\pm\infty` oder :math:`x\rightarrow x_{0}` über jede Polynomfunktion. - Die Polynomfunktion dominiert bei der Grenzwertbildung für :math:`x\rightarrow\pm\infty` oder :math:`x\rightarrow x_{0}` über jede :math:`\ln`-Funktion.