Exponentialfunktionen ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. toctree:: :maxdepth: 1 exponential_aufgaben.rst .. |br| raw:: html
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Mit dem Taschenrechner berechnen wir folgende Werte: - :math:`e^{1}=2.718281828` - :math:`e-\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}\approx 0.013468` - :math:`e-\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}\approx 0.0013579` - :math:`e-(1+\frac{1}{1000000})^{1000000}\approx 0` Damit können wir den Wert von :math:`e` als Grenzwert angeben. :math:`\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}(1+\frac{1}{n})^{n}=e` |hr| Auch die Werte :math:`e^{2}`, :math:`e^{5}` oder :math:`e^{x}` geben wir als Grenzwerte an. - :math:`\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}(1+\frac{2}{n})^{n}=e^{2}` - :math:`\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}(1+\frac{5}{n})^{n}=e^{5}` - :math:`\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^{n}=e^{x}` |hr| .. topic:: Allgemein gilt: Die Funktion :math:`f:x\mapsto e^{x}=\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^{n}` mit :math:`x\in\mathbb{R}` heißt *natürliche Exponentialfunktion*. Die Zahl :math:`e=2.71828182\ldots` ist die *eulersche Zahl*. Für alle :math:`x\in\mathbb{R}` ist :math:`f(x)=e^{x}>0`. Die *natürliche Exponentialfunktion* hat den Wertebereich :math:`W_{f}=\mathbb{R}^{+}` und somit keine Nullstellen. |hr| Für die *natürliche Exponentialfunktion* gelten folgende wichtige Rechenregeln: - :math:`e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}` und :math:`\frac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}` mit :math:`a,b\in \mathbb{R}` - :math:`\left( e^{a}\right)^{b}=e^{a\cdot b}` - Beachte: :math:`e^{a^{b}}\neq \left( e^{a}\right)^{b}=e^{a\cdot b}`, also :math:`e^{a^{b}}\neq e^{a\cdot b}` - :math:`e^{-a}=\frac{1}{e^{a}}` oder :math:`e^{a}=\frac{1}{e^{-a}}` - :math:`e^{\frac{a}{w}}=\sqrt[w]{e^{a}}` mit :math:`w\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}` - :math:`e^{-\frac{a}{w}}=\frac{1}{\sqrt[w]{e^{a}}}` oder :math:`e^{\frac{a}{w}}=\frac{1}{\sqrt[w]{e^{-a}}}` |hr| Exponentialterme sind streng von Potenzterme zu unterscheiden. Potenzterme haben eine *feste Hochzahl* und eine *variable Basis*, z. B. :math:`x^{3}`. Exponentialterme haben eine *feste Basis* und eine *variable Hochzahl*, z. B. :math:`3^{x}`. |hr| Die Umkehrung der *Exponentialrechnung* ist die *Logarithmusrechnung*. :math:`e^{a}=p\Leftrightarrow a=\log_{e}p` (*Logarithmus zur Basis* :math:`e` von :math:`p\in\mathbb{R}^{+}`). Für :math:`\log_{e}p` schreibt man kurz: :math:`\ln p`. .. topic:: Allgemein gilt: :math:`e^{a}=p\Leftrightarrow a=\ln p` mit :math:`p\in\mathbb{R}^{+}` Der *Logarithmus mit Basis* :math:`e` heißt *natürlicher Logarithmus* und wir notieren ihn mit :math:`\ln`. Jede positive reelle Zahl :math:`q>0` können wir als *Exponential-* oder *Logarithmusterm* angeben. :math:`q=e^{\ln q}=\log_{e}e^{q}=\ln e^{q}` Damit können wir nun jeden Exponentialterm mit Basis :math:`q\in \mathbb{R}^{+}` auf einen Exponentialterm mit Basis :math:`e` zurückführen. Deshalb gelten die obigen Rechenregeln auch für jede beliebige Basis :math:`q\in \mathbb{R}^{+}`. .. topic:: Allgemein gilt: :math:`q=e^{\ln(q)}`, oder :math:`q^{a}=\left(e^{\ln(q)}\right)^a=e^{\ln(q) \cdot a}` mit :math:`q\in \mathbb{R}^{+}` Die erste Ableitung der *natürlichen Exponentialfunktion* bilden wir mit der Kettenregel. :math:`f^{\prime}(x)={\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\left[n\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{n}\right]}` :math:`\qquad=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}=e^{x}=f(x)` ; :math:`x\in\mathbb{R}` .. topic:: Allgemein gilt: Die *natürliche Exponentialfunktion* ist in :math:`\mathbb{R}` differenzierbar und es gilt: :math:`f^{\prime}(x)=e^{x}`, sowie :math:`\int e^{x}dx=e^{x}+C` mit :math:`C\in\mathbb{R}` Weitere Ableitungen der *natürlichen Exponentialfunktion* ändern sich nicht. :math:`f(x)=f^{\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime\prime}(x)=e^{x}>0` für alle :math:`x \in\mathbb{R}` |hr| Wir rechnen :math:`e^{0}=1` und somit schneidet der Graph der *natürlichen Exponentialfunktion* die :math:`y`-Achse im Punkt :math:`A(0;1)` und verläuft in :math:`\mathbb{R}` oberhalb der :math:`x`-Achse. Da zusätzlich gilt: :math:`f^{\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)=e^{x}>0`, ist die *natürliche Exponentialfunktion* in :math:`\mathbb{R}` echt monoton zunehmend und der Graph :math:`G_{f}` der *natürlichen Exponentialfunktion* ist in :math:`\mathbb{R}` linksgekrümmt. Außerden gibt es hier keine Extrem- und keine Wendepunkte. |hr| Das Verhalten von :math:`f(x)` an den Grenzen des Definitionsbereichs ist unterschiedlich. :math:`\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}e^{x}=+\infty` :math:`\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}e^{x}=\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{1}{e^{-x}}=0` Die :math:`x`-Achse ist horizontale Asymptote von :math:`G_{f}`. Der Graph der *natürlichen Exponentialfunktion* ist streng monoton steigend und wir merken uns einige Funktionswerte, nämlich :math:`e^{-1}\approx 0.37`, :math:`e^{0}\approx 1`, :math:`e^{1}\approx 2.72` und :math:`e^{2}\approx 7.39`. .. tikz:: :align: left :xscale: 50 \draw[very thin,color=gray] (-3.4,-0.4) grid (2.4,10.2); \draw[->] (-3.7,0) -- (2.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-0.7) -- (0,10.5) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-3.2:2.3,color=pink,samples=100] plot(\x,{exp(\x)}) node[right]{$G_{f}$}; \fill[gray] (-3,0.050) circle (0.08); \fill[gray] (-2,0.135) circle (0.08); \fill[gray] (-1,0.368) circle (0.08); \fill[gray] (0,1) circle (0.08); \fill[gray] (1,2.718) circle (0.08); \fill[gray] (2,7.389) circle (0.08); Bei Berechnungen zur *natürlichen Exponentialfunktion* verwenden wir noch weitere Integrationsregeln. - :math:`\int e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)dx=e^{f(x)}+C` - :math:`\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}\int e^{ax+b}\cdot a dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+C` **Partielle Integration** - :math:`\int u(x)v^{\prime}(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx` - :math:`\int (ax+b)e^{mx+t}dx=\frac{1}{m}(ax+b)e^{mx+t}-\frac{a}{m}\int e^{mx+t}dx`